Trois centres alignés

jelobreuil · November 2021

Bonjour à tous,
Je vous propose ce problème.

Soit $ABC$ un triangle. La médiatrice de $BC$ coupe les droites $AB$ et $AC$ en les points $A_1$ et $A_2$ qui se trouvent respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle circonscrit à $ABC$, et les points $B_1$, $B_2$, $C_1$ et $C_2$ sont définis de même, respectivement sur les médiatrices de $AC$ et de $AB$. Soit $O_1$ et $O_2$ les centres des cercles circonscrits aux triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
Montrer que la droite $O_1O_2$ passe par le centre du cercle circonscrit à $ABC$.
Bien cordialement, $JLB$ 128484

Rescassol · November 2021

Bonjour,

Avec Morley circonscrit:

% Jelobreuil - 04 Novembre 2021 - trois centres alignés 

clc, clear all, close all

syms a b c
syms aB bB cB % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

vdm=(a-b)*(b-c)*(c-a);
vdmB=-vdm/s3^2;

%-----------------------------------------------------------------------

[pc qc rc]=Mediatrice(a,b,aB,bB);
[pa qa ra]=Mediatrice(b,c,bB,cB);
[pb qb rb]=Mediatrice(c,a,cB,aB);

[c1 c1B]=IntersectionDeuxDroites(pc,qc,rc,1,b*c,-b-c);
[c2 c2B]=IntersectionDeuxDroites(pc,qc,rc,1,c*a,-c-a);
[a1 a1B]=IntersectionDeuxDroites(pa,qa,ra,1,c*a,-c-a);
[a2 a2B]=IntersectionDeuxDroites(pa,qa,ra,1,a*b,-a-b);
[b1 b1B]=IntersectionDeuxDroites(pb,qb,rb,1,a*b,-a-b);
[b2 b2B]=IntersectionDeuxDroites(pb,qb,rb,1,b*c,-b-c);

[o1 o1B]=CentreCercleCirconscrit(a1,b1,c1,a1B,b1B,c1B);
[o2 o2B]=CentreCercleCirconscrit(a2,b2,c2,a2B,b2B,c2B);

O1=Factor(o1)

Nul=Factor(o1*o2B-o2*o1B)  % Égal à 0, donc c'est gagné

[p q r]=DroiteDeuxPoints(o1,o2,o1B,o2B);

F=(a + b)*(a + c)*(b + c)*(- a^4*b*c + a^3*b^3 - a^3*b^2*c + a^3*b*c^2 + a^3*c^3 + a^2*b^3*c - a^2*b*c^3 - a*b^4*c - a*b^3*c^2 + a*b^2*c^3 - a*b*c^4 + b^3*c^3)*(- a^4*b*c + a^3*b^3 + a^3*b^2*c - a^3*b*c^2 + a^3*c^3 - a^2*b^3*c + a^2*b*c^3 - a*b^4*c + a*b^3*c^2 - a*b^2*c^3 - a*b*c^4 + b^3*c^3)/(2*s3*vdm);

p=Factor(F*p) % F est un facteur commun de simplification
q=Factor(F*q)
r=Factor(F*r) % R est nul comme il se doit

% On trouve pour équation de (O1 O2) p*z + q*zB =0   avec:

p=s1^5*s3 - s1^2*s2^3 + 3*s1^2*s3^2 - 5*s1*s2^2*s3 + s2^4 + 9*s2*s3^2;
q=s1^4*s3^2 - s1^3*s2^2*s3 - 5*s1^2*s2*s3^2 + 9*s1*s3^3 + s2^5 + 3*s2^2*s3^2;

Cordialement,

Rescassol

Rescassol · November 2021

Bonjour,

Le même en barycentriques:

% Jelobreuil - 04 Novembre 2021 - trois centres alignés 

clc, clear all, close all

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

%-----------------------------------------------------------------------

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
CA=[0, 1, 0];
AB=[0, 0, 1];

%-----------------------------------------------------------------------

MAB=MediatriceBary(A,B,a,b,c);
MBC=MediatriceBary(B,C,a,b,c)
MCA=MediatriceBary(C,A,a,b,c);

C1=Wedge(MAB,BC);
C2=Wedge(MAB,CA);
A1=Wedge(MBC,CA);
A2=Wedge(MBC,AB);
B1=Wedge(MCA,AB);
B2=Wedge(MCA,BC);

O=CentreCercleCirconscritBary(A,B,C,a,b,c);
O1=CentreCercleCirconscritBary(A1,B1,C1,a,b,c);
O2=CentreCercleCirconscritBary(A2,B2,C2,a,b,c);

Mat=[O, O1, O2];
Nul=Factor(det(Mat)) % Égal à 0, donc c'est gagné

Cordialement,

Rescassol

jelobreuil · November 2021

Merci beaucoup, Rescassol !
Y a-t-il des points intérieurs au triangle, autres que le centre du cercle circonscrit, pour lesquels on retrouve ce résultat ?
Avec un point P intérieur au triangle, les trois perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés du triangle, et les six points définis comme dans mon premier message ?
Je n'ai pas l'impression qu'il en existe, quand je fais bouger un tel point P "à la souris", ça ne semble pas coller ...
Avec un point extérieur au triangle, il ne me semble pas possible de définir les six points aussi simplement ...
Bien cordialement, JLB

Rescassol · November 2021

Bonne nuit,

J'ai obtenu le lieu des points $P$ tels que $P,O_1,O_2$ soient alignés, mais c'est une sextique dont l'équation comporte environ $4000$ caractères en Morley circonscrit, je verrai demain après-midi si je parviens à la faire digérer par Géogébra.

Cordialement,

Rescassol

Jean-Louis Ayme · November 2021

Bonjour à tous,
une preuve synthétique ?

Sincèrement
Jean-Louis

jelobreuil · November 2021

Bonjour Jean-Louis,
Je vous avoue que j'espérais que vous en auriez une dans votre "encyclopédie du triangle" !
Mais si c'est un problème original, vous pourriez peut-être le proposer sur un autre site, pour voir ?
Je vais essayer de voir ce que ça donne avec le centre du cercle inscrit, serait-il sur la sextique indiquée par Rescassol ?
Bien cordialement $JLB$

Edit 1 : voici "ce que ça donne" ! Apparemment, ça ne fonctionne pas pour I ...
Edit 2 : ... pas plus que pour G ...
Edit 3 : ... ni pour le centre du cercle d'Euler N ! 128500

Rescassol · November 2021

Bonsoir,

Ouf !!!! On peut bouger $P$ sur la sextique dans le ggb.

Cordialement,

Rescassol 128516

jelobreuil · November 2021

Merci beaucoup, Rescassol !
Mais je regrette de devoir te dire que la figure ci-dessus ne correspond pas à mon énoncé : les deux cercles $(O_1)$ et $(O_2)$ que tu as tracés ne correspondent pas à ce que j'ai défini: avec un point $P$ à l'intérieur du triangle comme tu l'a figuré, le cercle $(O_1)$ passe par les trois points situés à l'intérieur des côtés du triangle, ce qui n'est pas le cas sur ta figure, ou $(O_1)$ passe par $A_1$, $B_2$ et $C_1$ ...
C'est ce qui explique le caractère asymétrique de ta sextique, où le point $B$ est privilégié ...
Bien cordialement,$JLB$

Rescassol · November 2021

Bonjour,

J'ai seulement appliqué une permutation circulaire à ta première phrase:
> La médiatrice de $BC$ coupe les droites $AB$ et $AC$ en les points $A_1$ et $A_2$.
Je n'ai pas tenu compte de intérieur/extérieur.

Ensuite, le point $B$ n'est pas toujours privilégié, fais bouger $A,B,C$ sur mon dessin, tu verras. Sur ma figure, $B$ est opposé au plus long côté du triangle $ABC$.

Cordialement,

Rescassol

jelobreuil · November 2021

Bonsoir, Rescassol,
Il est certain que quand le point $P$ est suffisamment loin du triangle, les perpendiculaires issues de $P$ aux droites portant les côtés du triangle ne traversent pas celui-ci ...
Mais dans mon esprit, pour la situation des points d'intersection, la distinction intérieur/extérieur des côtés est importante, car je m'intéresse précisément à ces points d'intersection des médiatrices et des côtés autres que les milieux de ceux-ci.
Il faut donc, je pense, limiter la zone accessible à $P$, peut-être à l'hexagone formé par les trois couples de droites perpendiculaires aux côtés du triangle en les sommets de celui-ci ...
Bien cordialement, $JLB$

jelobreuil · November 2021

Bonsoir à tous,
Je viens d'essayer de voir ce qu'il en est avec le point de Nagel et le point de Gergonne : cela ne marche pas !
Bien cordialement $JLB$

Edit : et pour le point de Lemoine non plus ...
Il semble donc que ce soit une propriété spécifique des médiatrices du triangle ...

jelobreuil · November 2021

Bonne nuit,
Un autre cas de figure ...
Bien cordialement, $JLB$ 128580

jelobreuil · December 2022

Bonne nuit à tous,

En revenant sur cette discussion, je m'aperçois de ce qu'elle n'est pas complète, au sens où il manque un figure illustrant le fait que l'alignement des centres avec $O$ se produit pour n'importe laquelle des quatre paires de cercles passant chacun par trois des six points d'intersection des médiatrices et des droites portant les côtés, chacun des trois points de ces deux triplets étant situé sur une médiatrice différente.

Voici donc une telle figure.

Bien cordialement, JLB

PS @Rescassol, tu avais raison de ne pas faire de différence entre points "extérieurs" et "intérieurs", l'essentiel est que les triplets de points soit constitués de trois points appartenant chacun à une médiatrice différente. Je ne m'en suis aperçu que quelque temps plus tard, et je ne suis pas revenu ici ensuite ...

Trois centres alignés

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