Cette fonction continue n'existe pas

Nota bene : j'ai publié un peu succinctement, de peur d'être grillé comme cela se produit souvent ; la densité invoquée de la famille de monômes est une conséquence du théorème de Müntz-Szasz, puisque la série $\sum\frac1{t_n}$ diverge. Il y a donc de quoi généraliser nettement les hypothèses de l'exercice (j'en soupçonne l'auteur d'avoir choisi celles-ci afin de brouiller les pistes).

La violence, y a rien d'mieux pour se détendre (tu)

C'est simplement le TVI pour la première histoire.
Je suis curieux de la version sans lance-roquette (disons niveau licence sans théorème sujet de concours admis).

Très joli John_john.

Blueberry : Pourquoi existerait-il un $b'$ qui vérifierait aussi les conditions de l'énoncé ? Ça ne me semble pas correct.

Avec $I=[a,\,b]$ et $J=\R^+$, on pose $F : (x,\,t)\in I\times J\mapsto f(x)x^t$ ; les hypothèses du thm de continuité sous le signe somme sont satisfaites, et en particulier il y a une domination par une constante sur $I\times S$, quel que soit le segment $S\subset J$. Cela établit la continuité de $t\geqslant0\mapsto\int_{a}^{b}f(x)x^t\,{\rm d}x$.

Le TVI prouve alors l'existence de la suite $(t_n)$ annoncée. Le thm de Müntz prouve à présent que le sev engendré par les $x\mapsto x^{t_n}$ est dense (pour la norme uniforme) dans ${\rm C}([a,\,b])$ pour $a>0$ et, si $a=0$, dans le sev de ${\rm C}([a,\,b])$ formé des fonctions nulles en $0$. Pour la norme $||\cdot||_2$, ce sev est donc toujours dense dans ${\rm C}([a,\,b])$.

Dans tous les cas, on déduit des égalités $\int_{a}^{b}f(x)x^{t_n}\,{\rm d}x=0$ pour tout $n$ que $f=0$, puisque $f$ est orthogonale à un sev dense. Cela contredit enfin le fait que $\int_{a}^{b}f(x)x^0\,{\rm d}x>0$.

Renart : la preuve est jolie, certes, mais l'idée de l'exercice l'est encore plus ! Il en fallait, de la profondeur de vue, pour songer à poser la question !!!

Je vais tenter avec « existe-t-il un polynôme ? » pour tenter ensuite d’approcher $f$ avec Stone-Weirestrass.
Il me faut une feuille et un crayon…

Edit : voir plus bas.

J’ai aussi songé à considérer des produits scalaires (en espérant utiliser $<f,id.g>=<f.id,g>$.

Mais franchement, je n’ai que la possibilité de balancer des idées vagues pour le moment (j’espère avoir la possibilité de me poser bientôt papier-crayon en main). Vous me pardonnerez.

Très joli (et très simple), sol ! Je n'avais pas eu le temps de vérifier la preuve dans le message effacé, mais la seconde version semble irréprochable. MM. Müntz et Szasz peuvent aller se rhabiller, à présent.

Je viens de recevoir un texto furibond de Müntz : <<comment cela, aller me rhabiller :-X ; remplacez donc dans l'énoncé $n$ par $p_n$, où $p_n$ est le $n$--ième nombre premier, et Laplace fera moins le malin. Na !>>.

Dont acte

@sol très joli preuve

Bonjour, sol ! Cette prosopopée se voulait être juste un clin d’œil et ne doit pas être prise au pied de la lettre, car je n'avais nulle intention de comparer les deux méthodes (et surtout pas de faire le jaloux), d'autant plus qu'elles sont <<orthogonales>>, quoique pas d'intersection tout à fait vide puisqu'elles ont toutes deux besoin de beaucoup de valeurs de $n$.
Au reste, j'avais soupçonné l'auteur de l'exo de faire une hypothèse portant sur tous les $n$ afin de noyer le poisson et de planquer le recours à Müntz ; ta solution montre qu'il en a peut-être eu l'idée à partir de la transformée de Laplace et, là, les hypothèses retenues s'imposent.

Saucisse sur le gâteau, comme on dit cheux nous en Moselle, ta solution fera un exxxxxxcellent énoncé inédit de colle (les programmes sur les séries de fonctions ne vont pas tarder). Et même deux exos puisqu'il y a le cas particulier où $f$ est polynomiale (cf le message de Dom).

Bien cordialement, j__j

Petite anecdote à propos de Szasz (je renonce à chercher comment taper un \'a dans le forum ; je présente de ce fait mes excuses aux Magyars qui tiennent à prononcer ce patronyme Sass et non pas Soss) : ce nom ressemble tellement au substantif allemand Satz (théorème) que l'on lit parfois Théorème de Müntz-Satz (pléonasme) ou tout simplement Müntz Satz. Dans les années soixante-dix et quatre-vingt (sans 's' à vingt), les annales de l'UPS s'étaient fait une spécialité de cette petite confusion.

John_john soulève une question ardue mais intéressante avec ses années quatre-vingt sans « s » :
https://www.btb.termiumplus.gc.ca/tpv2guides/guides/chroniq/index-fra.html?lang=fra&lettr=indx_titls&page=9EoC8Iq7aq0M.html

Bonsoir j__j
Pour les caractères qui ne sont pas au clavier, je me suis fait une réserve dans laquelle je vais piocher quand j'en ai besoin : pour á, pour les majuscules comme À ou Ç, pour des jolis «...» au lieu de tes vilains <<...>> ;-), etc. J'ai eu du mal il y a peu avec Alina Sînt$\mathsf{\breve{a}}$m$\mathsf{\breve{a}}$rian, je n'ai peut-être pas trouvé la meilleure solution, mais j'ai quand même réussi à faire passer sur le forum ce drôle d'accent roumain en demi-lune, qu'il refusait si je tentais un simple copier-coller.
Pour les années, comme nous sommes au XXIème siècle, j'écrirai « les années 1980 », et pas de souci.
Bonne soirée.
RC

Et pourquoi pas ?