Tangente et fonction implicite

tylnx · November 2021

Bonjour tous

Soit $C_{\alpha}$ la courbe d'équation $f(x, y)=\alpha .$ Si les hypothèses du théorème des fonctions implicites sont vérifiées, alors la tangente à $C_{\alpha}$ au point $\left(x_{0}\, ;\, y_{0}\right)$ a pour équation: $$\dfrac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0} \, ;\, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0} \, ;\, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)=0.

$$ Dans la preuve, on commence en disant que cette droite a pour équation $y=y_{0}+\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$. Je n'ai pas compris cela.

Poirot · November 2021

Qui est $\varphi$ ?

tylnx · November 2021

$\varphi$ est la fonction qui définit y implicitement en fonction de $x$.

Voici le théorème.
Soit $f$ de classe $C^{1}$ de $U$ dans $\mathbb{R}$, où $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{2}$. Soit $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in U$ tel que $f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\alpha$ et avec $\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0$. Alors il existe deux intervalles ouverts $I=\,] x_{0}-\varepsilon\; ,\; x_{0}+\varepsilon[$ et $J=\,] y_{0}-r\; ,\; y_{0}+r[$, et une application $\varphi: I \rightarrow J$ tels que :
$$
\big[ f(x, y)=\alpha \text { pour }(x, y) \in I \times J \big]\ \Longleftrightarrow\ \big[ y=\varphi(x) \text { pour } x \in I \big].
$$ De plus $\varphi$ est dérivable sur $I$, et $\varphi^{\prime}(x)=-\dfrac{\frac{\partial f}{\partial x}(x , \varphi(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x, \varphi(x))}$.

Frédéric Bosio · November 2021

Je pense que $\phi $ est "la" fonction dont le graphe local coïncide avec la courbe $C_{\alpha }$.
Après, il s'agit juste de savoir écrire la tangente au graphe d'une fonction dérivable en un point.

tylnx · November 2021

Oui Frédéric Bosio; effectivement c'est ce que je veux comprendre.

Poirot · November 2021

C'est l'interprétation géométrique de la dérivée, que l'on voit en général au lycée. La tangente à la courbe de $\varphi$ en $(x_0, \varphi(x_0))$ a pour équation $y = \varphi(x_0) + \varphi'(x_0)(x-x_0)$.