Équivalent d’une suite du dimanche après-midi

1/ Je cherche $b_n>0$ tel que $b_{n}=\frac{\sqrt{n}}{1+b_{n}}$. C'est $b_{n}=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{1+4\sqrt{n}})$.
J'ai l'impression que pour $n \ge 5$ on a : $b_{n-1}<a_{n}<b_{n}$, et que la suite $a_n$ est croissante pour $n \ge 4$.

Oui, tu as bien raison: je vais modifier mon message initial.

En surfant sur la suggestion de Chaurien et le développement de Mathcoss si $a_{n+1}=\frac{f(n)}{1+a_{n}}$ avec $a_1>0$ et $f(n)>0$ croissante (conditions à préciser peut-être) a-t-on ?
$$a_{n}=f(n)^{1/2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}f(n)^{-1/2}+O\left(f(n)^{-3/2}\right).
$$ Quelques essais numériques le laissent penser. La forme fraction continue $$a_n=\frac{f(n)}{1+\frac{f(n-1)}{1+\frac{f(n-2)}{1+\frac{...}{f(1)}}}}$$ ne semble pas apporter grand chose.

Je crois que si $0<a_{1}\leq\frac{-1+\sqrt{4f(1)+1}}{2}$ alors $f(n)$ croissante implique que $a_{n}$ est croissante dès $n=1$.

Ajout : reprenons $f(n)=n^{1/2}$ et $a_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ alors, comme $a_{n}$ est croissante, on peut appliquer le résultat précédant et
$$
a_{n}=n^{1/4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}n^{-1/4}+O\big(n^{-3/4}\big).

$$ Paramétrons la suite en notant $a_{r,1}=r>0$ et $a_{r,n+1}=\frac{f(n)}{1+a_{r,n}}$ avec $f>0$ croissante. Alors pour tout $r\neq r'$, on a $a_{r,n}-a_{r',n}$ qui est une suite alternée vérifiant $a_{r,n}-a_{r',n}=o(1)$. En appliquant ça à $f(n)=n^{1/2}$ et en prenant $r=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $r'=1$ on a la réponse à la question initiale (pas plus de 2 termes dans le développement)
$$
a_{1,n}=n^{1/4}-\frac{1}{2}+o(1).

$$ C'est un peu lourd et en plus je dois vérifier un truc pour être net sur $a_{r,n}-a_{r',n}=o(1)$. Etanche c'est quoi la source de cet exo ?

Je propose en fait de raisonner par récurrence sans se soucier de la croissance (le truc est d'incrémenter ici un cran plus loin à droite).
Si $a_{1}=1,\ a_{n+1}=\frac{n^{1/2}}{1+a_{n}}$ montrons que pour $n\geq 4$
$$
\left((n-1)^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}<a_{n}<\left((n+1)^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}.

$$Vrai pour $n=4$. Si vrai au rang $n>4$.
\begin{align*}
\left(n^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}&<a_{n+1}<\left((n+2)^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2} \\

&\Leftrightarrow
\left(n^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}<\frac{n^{1/2}}{1+a_{n}}<\left((n+2)^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2} \\

&\Leftrightarrow
\frac{n^{1/2}}{\left((n+2)^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}}-1<a_{n}<\frac{n^{1/2}}{\left(n^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}}-1.\\

\text{Et on a bien pour $n\geq4$}\\

\left((n-1)^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}&<\frac{n^{1/2}}{\left((n+2)^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}}-1
\qquad \text{et} \\

\frac{n^{1/2}}{\left(n^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}}-1&<\left((n+1)^{1/2}+\frac{1}{4}\right)^{1/2}-\frac{1}{2}

\end{align*} dont la vérification est laissée au lecteur (:P) Bon même si je me suis emmêlé les pinceaux je pense que la solution est par là...
De l'inégalité de départ on tire donc
$$a_n=n^{1/4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}n^{-1/4}+O\left(n^{-3/4}\right).$$

L'inégalité la moins simple est fausse...Donc comme ça ça ne marche pas.

Math Coss a écrit:

Pour la première, je parierais pour
\[ u_n=n^{1/4}-\frac12+\frac18n^{-1/4}+\frac18n^{-3/4}+o(n^{-3/4})
\] Le dernier terme n'est pas très étayé

C'est effectivement faux pour le dernier terme. En admettant que $a_n$ ait un développement asymptotique en les puissances (inverses) de $n^{1/4}$, on trouve les coefficients en injectant ce développement dans $a_{n+1}$ et dans $\dfrac{\sqrt{n}}{1+a_n}$ et en comparant les deux.
Avec maple, je trouve :
\[ a_n = n^{1/4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8 n^{1/4}} - \dfrac{17}{128 n^{3/4}} - \dfrac{1}{16 n} + \dfrac{17}{1024n^{5/4}} + o\left(\dfrac{1}{n^{5/4}}\right) .
\] On pourrait continuer et pousser le développement arbitrairement loin (toujours en admettant son existence).

Bien vu Guego. Pour alpha=2.5 par exemple il semble que a_n/n^1.25 tend vers 1 en oscillant...