Bonjour tout le monde.
Je cherche à démontrer la proprieté suivante mais je n'arrive pas à démarrer le raisonnement .Merci d'avance.
Ps: lambda valeur propre non nulle de AB.
Bonjour, Badrino,
construis un morphisme simple de l'un des noyaux vers l'autre et vérifie (si tu l'as bien choisi ; il ne faut pas prendre $0$ par exemple) que c'est un isomorphisme.
John_john.
J'ai démontré le cas général par récurrence. Comment tu as choisi BX ?
Pour l'application je pense qu'il faut que B soit inversible pour qu'elle soit un isomorphisme.
Comment penser à $BX$ ?? Je connaissais depuis toujours le cas où $k=1$ (multiplier à gauche par quelque chose fait partie des tentatives habituelles : $ABX=\lambda X$ implique $B\cdot ABX=\lambda BX$ mais c'est aussi $BA\cdot BX=\lambda BX$) ; il était dès lors naturel d'espérer que la méthode se généralise...
Ah ! tu penses à cet exo sur $BA=qAB$ ; c'est vrai, mais il faut dire que la littérature regorge d'exos dans lesquels il s'agit de comparer $AB$ et $BA$ dans une algèbre non commutative. Si $A$ et $B$ sont des matrices $(p,q)$ et $(q,p)$ respectivement, alors $I_q-BA$ et $I_p-AB$ ont même déterminant.
John_john:
Je pense qu'il y a un résultat plus général concernant la relation entre le polynôme caractéristique de AB et celui de BA lorsqu'ils sont de taille (p, q) et (q, p) c'est presque la même démonstration.
Oui : c'est $X^p\chi_{_{BA}}=X^q\chi_{_{AB}}$ (et, si $p\neq q$, cela ne permet pas de montrer que $0$ est valeur propre de l'une ssi c'est une valeur propre de l'autre... pas étonnant, puisque c'est faux:-)).
Oui, bien sûr, $0$ est forcément. v.p. de l'une des deux, mais j'ai seulement dit que c'est le si et seulement si qui est faux. Par exemple, $A=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$ et $B={}^t\!A$, alors $AB$ est inversible mais l'autre non.
Réponses
construis un morphisme simple de l'un des noyaux vers l'autre et vérifie (si tu l'as bien choisi ; il ne faut pas prendre $0$ par exemple) que c'est un isomorphisme.
J'ai trouvé ce morphisme mais il est un isomorphisme que si A est inversible.
Après cela, on pourra utiliser l'hypothèse $\lambda\neq0$ et cela reste valable en dimension infinie.
Pourquoi BX va se trouver dans le second sev?
J'ai démontré le cas général par récurrence. Comment tu as choisi BX ?
Pour l'application je pense qu'il faut que B soit inversible pour qu'elle soit un isomorphisme.
Je pense qu'il y a un résultat plus général concernant la relation entre le polynôme caractéristique de AB et celui de BA lorsqu'ils sont de taille (p, q) et (q, p) c'est presque la même démonstration.
Pourquoi si p différent de q on n'aura pas forcément 0 une racine de l'un des deux polynômes caractéristiques.
Merci beaucoup.