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Étude du signe d'une expression

NiserNiser
dans Analyse
Bonjour, je voudrais étudier le signe de cette expression suivant les valeurs de $p,q\in \C,\ |p|<1,\ |q|<1$ : $$
|p-q|^2+(1-|p|^2)(1-|q|^2)-\sqrt{(1-|p|^2)^2(1-|q|^2)^2+(1-|p|^2)(1-|q|^2)|1-\overline{p}q|^2},\qquad p\neq q \ .
$$ J'ai essayé d'utiliser $\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}\ $, j'ai obtenu :
Si $|p-q|>1$ alors l'expression ci-dessus est positive.
Mais si $|p-q|<1$ je n'arrive pas à m'en sortir...
Merci d'avance !

Réponses

  • BlueberryBlueberry
    Ce qui est sûr c'est que il peut tout se passer : si $p$ et $q$ sont suffisamment proches du bord du disque centré en l'origine de rayon $1$ et proche l'un de l'autre, ça sera négatif. Mais ça peut aussi être positif.
    En élevant au carré après avoir passé la racine à droite et en faisant ensuite la différence j'obtiens:

    $|p-q|^4+(1-|p|^2)(1-|q|^2)(|p-q|^2-1)$
  • NiserNiser
    Si je fais comme vous dites j'obtiens $$
    |p-q|^4+(1-|p|^2)(1-|q|^2)(|p-q|^2+|p|^2+|q|^2-1-|p|^2|q|^2) ,
    $$ et donc $$
    |p-q|^4+(1-|p|^2)(1-|q|^2)\big(|p-q|^2-(1-|p|^2)(1-|q|^2)\big).$$
  • BlueberryBlueberry
    J'ai refait mon calcul, je retrouve la même chose, et je ne comprends pas la 1ère étape du tien.
    Bon j'ai peut-être fait une erreur mais de toutes façons mon expression ne permet pas de conclure.
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