Une étude sur les cercles de Tucker

hoax ? Merekekex coax coax.

• Phorum/A/1065191-Tucker_Taylor_Circles
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• Phorum/N/2307276-Tucker_Lamoen_Circles
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• Phorum/N/2323176-Tucker_JLA_Circles

On considère la chaîne de points: \[ P,Q,R,S,T,U\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ t\\ 1-t \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} y\\ 1-y\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1-y\\ 0\\ y \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ y\\ 1-y \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} y\\ 1-y\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1-y\\ 0\\ y \end{array}\right) \] formée de $P$, le point menant situé sur le côté $BC$ et d'une suite de points dépendants, situés sur les côtés $
\def\ptv{~;~} \def\etc{,\:\mathrm{etc}}
AB,\,CA,\,BC\etc$, et obtenus en traçant successivement des segments obtenus en répétant le schema "anti-parallèle, parallèle". On veut donc que $\left(A,C,P,Q\right)$ soient cocycliques, puis que $QR\parallel BC$, etc. On trouve:

\[ PRT\simeq\left(\begin{array}{ccc} 0 & \left(1-t\right)a^{2} & c^{2}+b^{2}\left(t-1\right)\\ c^{2}t & 0 & \left(1-t\right)b^{2}\\ c^{2}\left(1-t\right) & c^{2}+a^{2}\left(t-1\right) & 0 \end{array}\right) \] \[ SUQ\simeq\left(\begin{array}{ccc} 0 & c^{2}t & \left(1-t\right)a^{2}\\ \left(1-t\right)b^{2} & 0 & c^{2}+a^{2}\left(t-1\right)\\ c^{2}+b^{2}\left(t-1\right) & c^{2}\left(1-t\right) & 0 \end{array}\right) \] Bien entendu, on a utilisé la même norme pour les six points.

Si l'on préfère "parallèle, anti-parallèle", on peut utiliser la chaîne $STUPQR$ pour tourner dans un sens et $UTSRQP$ pour tourner dans l'autre sens.

On voit aisément que la LFIT des $PRT$ admet les points de Brocard comme slowness_center et comme équicentre. Plus précisément: \[

\def\slov{\mathcal{S}} \def\equi{\mathcal{E}} \def\pilpt{\Omega} \def\pilcon{\mathfrak{C}}

\slov,\equi,\pilpt\simeq\left(\begin{array}{c} b^{2}a^{2}\\ c^{2}b^{2}\\ c^{2}a^{2} \end{array}\right),\,\left(\begin{array}{c} c^{2}a^{2}\\ b^{2}a^{2}\\ c^{2}b^{2} \end{array}\right),\,\left(\begin{array}{c} c^{2}b^{2}\\ c^{2}a^{2}\\ b^{2}a^{2} \end{array}\right) \]
On aura remarqué que $\Omega$ est l'isotomique de X(6), le point de Lemoine. Par conséquent, la conique pilier $\pilcon$, conique inscrite dont le perspecteur est l'isotomique de $\pilpt$ et le centre est le milieu de $\slov,\equi$... n'est autre ici que l'ellipse de Brocard. Comme il est bien connu, ses foyers sont précisément $\slov,\equi=F_{1},F_{2}=$X(39)$\pm$X(511) --les points de Brocard-- ainsi que $F_{3},F_{4}=$X(39)$\pm$i X(512)/4S.

Les fameuses coniques temporelles ne sont autres que les cercles $\left(PRT\right)$... et donc les deux LFIT sont Tucker-associates l'une de l'autre, et échangent leurs centres: le slowness_center de l'une devenant l'équicentre de l'autre.

C'est le moment de caser le théorème 23.3.7:

The temporal conic $
\def\tmpom#1#2{\boxed{\mathcal{C}_{#1}^{#2}}}
\def\tmpoc#1#2{\mathcal{C}_{#1}^{#2}}

\tmpoc ts$ related to $a_{t}b_{t}c_{t}$ doesn't depends on the $s$ chosen to construct the graphs (and is to be noted $\tmpoc t{}$). Moreover, the constant matrix \[
\def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}}
\def\trim#1{\boxed{\mathcal{T}_{#1}}}
\def\bmul{\underset{b}{*}}
\def\linf{\mathcal{L}_{\infty}}
\def\Sw{S_{\omega}}
\def\where{\qquad\mathrm{where}\;}

\tmpom{}H\doteq\tra{\trim t}\cdot\tmpom t{}\cdot\trim t\simeq\left(\begin{array}{ccc} 0 & h\tau & g\sigma\\ h\tau & 0 & f\rho\\ g\sigma & f\rho & 0 \end{array}\right) \] can be seen as a description of $\tmpoc t{}$ from the $abc$ frame, or as the description, from the $ABC$ frame, of another conic, $\tmpoc{}H$, image of $\tmpoc t{}$ by the collineation $\phi_{t}:a,b,c\mapsto A,B,C$, $\linf\mapsto\linf$. Using the second point of view, we have a fixed circumconic, with perspector the point $\slov\bmul\pilpt$.

On peut aussi parametrer la LFIT de façon à placer l'origine des temps au moment où l'aire est minimale. On obtient \[ \trim T\simeq\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a^{2}T+\dfrac{a^{2}\Sw}{} & b^{2}T+1-\dfrac{b^{2}\Sw}{W_{1}^{2}}\\ c^{2}T+1-\dfrac{c^{2}\Sw}{W_{1}^{2}} & 0 & -b^{2}T+\dfrac{b^{2}\Sw}{W_{1}^{2}}\\ -c^{2}T+\dfrac{c^{2}\Sw}{W_{1}^{2}} & a^{2}T+1-\dfrac{a^{2}\Sw}{W_{1}^{2}} & 0 \end{array}\right] \]
\[ aire=W_{1}^{2}T{}^{2}+\dfrac{4\,S^{2}}{W_{1}^{2}}\where W_{1}^{2}\doteq b^{2}a^{2}+c^{2}a^{2}+c^{2}b^{2} \] Cela permet d'introduire le radical de Brocard, mais cela ne simplifie pas les calculs. Et maintenant, il reste à évoquer le fameux PH temporel.

Cordialement, Pierre