Intégration au sens de Lebesgue

Charlie12 · October 2021

Bonjour
Voici un exercice.

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb R^N$, et soit $f \in \mathcal{L}^1(\Omega)$. Montrer que $\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \int_{\Omega} 1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } (x) \lvert f(x) \rvert dx = 0$.

$f$ étant intégrable, on a $\lvert f(x) \rvert < + \infty$ pour presque tout $x \in \Omega$, donc la suite de fonctions $(1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } \lvert f \rvert)_{n \in \mathbb N}$ converge simplement vers la fonction nulle presque partout sur $\Omega$.

De plus, $0 \leq 1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } (x) \lvert f(x) \rvert \leq \lvert f(x) \rvert$ pour (presque) tout $x \in \Omega$, avec $\lvert f \rvert$ intégrable.
Donc le théorème de convergence dominée de Lebesgue fournit la conclusion.

À un "détail" près: comment montrer que chaque $1_{ \{\lvert f \rvert > n\} } \lvert f \rvert$ est intégrable ? La réponse est peut-être évidente, mais je viens très récemment de me lancer dans l'intégration au sens de Lebesgue, et je suis loin d'être au point.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonne journée.

Riemann_lapins_cretins · October 2021

Comment tu fais ta domination si ce point te bloque au juste ?

Charlie12 · October 2021

Désolé, mais je ne comprends pas votre question ...

J’ai une fonction qui est dominée par une fonction intégrable, mais cette première fonction n’est pas forcément très « régulière » (le terme n’est pas très adéquat), n’est-ce pas ?

Riemann_lapins_cretins · October 2021

Si le problème est la mesurabilité alors il faut voir que l'indicatrice prend deux valeurs. Il suffit de caractétiser les images réciproques de {0} et {1} pour conclure. Heureusement elles sont boréliennes presque par définition du fait que f le soit.

math2 · November 2021

De toutes façons, il n'y a que la mesurabilité à vérifier (qui est quasi immédiate), l'intégralité résulte alors immédiatement de la domination, et d'ailleurs j'énonce toujours ce théorème en supposant juste les $f_n$ mesurables

Riemann_lapins_cretins · November 2021

Oui, mais par intégrable on veut dire d'intégrale de la norme finie, ce qui effectivement ne peut pas poser de problème puisque la domination ne peut pas ne pas donner la réponse. D'où ma question.
Il faut éviter ce mot si le problème est la mesurabilité.

math2 · November 2021

C'est pour cela que je pense que le bon énoncé du théorème de convergence dominée ne suppose que les $f_n$ mesurables.

Ici, la mesurabilité se fait à la main, mais on peut aussi conclure en 3 secondes : $|f|$ est mesurable car intégrable par hypothèse, l'indicatrice porte sur un ensemble mesurable puisqu'encore une fois $|f|$ est mesurable, et un produit de deux mesurables l'est.

Finalement, Charlie12, tu as fait le plus dur !

Personnellement, je préfèrerais sur cet exemple me servir de la version décroissante de Beppo-Levi, ce qui est possible puisque $|f|$ est positive et intégrable. Ce n'est pas plus court, mais plus "économique", Beppo-Levi arrivant avant le théorème de convergence dominée.

Riemann_lapins_cretins · November 2021

Monsieur Beppo Levi mérite de ne plus être considéré comme deux demi-personnes !

math2 · November 2021

C'est juste, je me trompe souvent avec Levi-Civita, un autre Levi qui est également une seule personne et dont le nom contient cette fois un trait d'union.

Poirot · November 2021

D'ailleurs Beppo est le prénom de Beppo Levi, quelqu'un sait-il pourquoi ce mathématicien est l'un des seuls que l'on nomme avec son prénom ?

Charlie12 · November 2021

Merci pour vos réponses !

En réalité, le document que j'utilise pour découvrir l'intégration au sens de Lebesgue fait un peu les choses "à l'envers": il définit d'abord l'intégrale de Lebesgue en définissant l'intégrale de fonctions appartenant à des ensembles de plus en plus grands, et introduit ensuite la notion de mesure de Lebesgue et de fonctions mesurables, de telle sorte que l'exercice ci-dessus n'est (en théorie du moins) pas censé faire appel à la mesurabilité.

Mais qu'importe, je vous remercie encore pour vos réponses,

Bonne journée.

Riemann_lapins_cretins · November 2021

Et dans le contexte quel est le type de fonctions que tu es censé savoir intégrer ?

Charlie12 · November 2021

Dans l'ordre d'apparition dans le cours (donc dans l'ordre de construction):

- Les fonctions continues à support compact dans un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R ^N$

- Les fonctions $f$ qui sont limites simples sur un ouvert $\Omega$ d'une suite croissante $(f_n)$ de fonctions continues à support compact dans $\Omega$ vérifiant $\displaystyle \sup \int_{\Omega} f_n(x) dx < + \infty$

- Les fonctions $f$ s'écrivant $f = u - v$ presque partout sur $\Omega$ où $u$ et $v$ sont des fonctions appartenant à la catégorie précédente, et où on dit d'un ensemble $Z \subset \Omega$ qu'il est négligeable s'il existe $f$ telle que décrite dans le point ci-dessus telle que $f(x) = + \infty$ pour tout $x \in Z$. Ces fonctions constituent les fonctions intégrables, on note $\mathcal L^1(\Omega)$ leur ensemble.

Plus tard, le cours parle bien de fonctions mesurables (définies comme les limites simples de fonctions continues à support compact), d'ensembles mesurables, etc., mais l'exercice qui m'intéressait était censé être posé avant cela.

(Pour information, le document que je mentionne est le cours de première année de l'École Polytechnique)