Exercice sur les séries
dans Analyse
Bonjour, j'aimerais montrer que la série $\sum \sin(n! \frac{\pi}{e})$ diverge. J'ai deux indications : d'abord, on doit séparer les termes inférieurs à $n!$ de ceux supérieurs à $n!$. Ensuite, il faut montrer que son terme général est équivalent à $\frac{\pi}{n}$ au voisinage de l'infini afin de conclure par série de RIEMANN.
Comme on a $\frac{1}{e} = \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!}$, on a $$\frac{n!}{e} = n! \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!} = \underbrace{\sum_{k \leq n} \frac{(-1)^k n!}{k!}}_{a_n} + n! \underbrace{\sum_{k > n} \frac{(-1)^k}{k!}}_{b_n}.
$$ On remarque que $a_n \in \N$, et que si $k \leq n-2$, $\frac{n!}{k!}$ est pair car il est divisible par l'entier pair $n(n-1)$ et alors $a_n$ est de parité opposée à $n$. Ainsi, $\cos( \pi a_n) = (-1)^{n+1}$. On peut donc écrire que $$\sin(n! \frac{\pi}{e}) = \sin(\pi a_n + \pi b_n) = \sin(\pi a_n) \cos(\pi b_n) + \sin (\pi b_n) \cos(\pi a_n) = \sin(\pi b_n)(-1)^{n+1}.
$$ Maintenant, je n'ai aucune idée de comment avoir l'équivalent. Est-ce que quelqu'un saurait le trouver ? Merci d'avance...
Comme on a $\frac{1}{e} = \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!}$, on a $$\frac{n!}{e} = n! \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!} = \underbrace{\sum_{k \leq n} \frac{(-1)^k n!}{k!}}_{a_n} + n! \underbrace{\sum_{k > n} \frac{(-1)^k}{k!}}_{b_n}.
$$ On remarque que $a_n \in \N$, et que si $k \leq n-2$, $\frac{n!}{k!}$ est pair car il est divisible par l'entier pair $n(n-1)$ et alors $a_n$ est de parité opposée à $n$. Ainsi, $\cos( \pi a_n) = (-1)^{n+1}$. On peut donc écrire que $$\sin(n! \frac{\pi}{e}) = \sin(\pi a_n + \pi b_n) = \sin(\pi a_n) \cos(\pi b_n) + \sin (\pi b_n) \cos(\pi a_n) = \sin(\pi b_n)(-1)^{n+1}.
$$ Maintenant, je n'ai aucune idée de comment avoir l'équivalent. Est-ce que quelqu'un saurait le trouver ? Merci d'avance...
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Réponses
\[b_n\sim \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}.\]
Si tu démontres que le terme général est équivalent à $\frac{\pi}{n}$, il n'y a pas de "ensuite"...
Si tu démontres que le terme général est équivalent à $\frac{(-1)^n \pi}{n}$ ou autre série alternée convergente, il te reste presque tout à faire...
Par ailleurs, ton message est assez confus. Peux-tu poster une photo de l'énoncé ?
L'énoncé : Étudier la série de terme général $v_n=\sin\left(\frac{\pi}{e}n!\right)$.
Indication : Ecrire $e$ comme somme d'une série de factorielles. Séparer ensuite l'étude des premiers termes (qui divisent
$n!$) des seconds.
\[b_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} + b_{n+1}\] et encadrer $b_{n+1}$.
$\displaystyle b_n = \sum_{k=n+1}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!}$.
$\displaystyle b_{n+1} = \sum_{k=n+2}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!}$.
$\displaystyle b_n = b_{n+1} + \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$.
Encadrer $b_{n+1}$ avec le critère spécial des séries alternées ? J'encadre $b_{n+1}$ qui est un reste de la série alternée $\sum \frac{(-1)^n}{n!}$. Alors $$\left \lvert b_{n+1} \right \lvert \leq \left \lvert \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} \right \lvert $$
L'une des 3 conclusions porte justement sur la majoration de la valeur absolue du reste d'ordre $n$...
Tu peux faire encore mieux que ça pour ta majoration de $|b_{n+1}|$.
Comme on a $\frac{1}{e} = \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!}$, on a $$\frac{n!}{e} = n! \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!} = \underbrace{\sum_{k \leq n} \frac{(-1)^k n!}{k!}}_{a_n} + n! \underbrace{\sum_{k > n} \frac{(-1)^k}{k!}}_{b_n}.
$$ On remarque que $a_n \in \N$, et que si $k \leq n-2$, $\frac{n!}{k!}$ est pair car il est divisible par l'entier pair $n(n-1)$ et alors $a_n$ est de parité opposée à $n$. Ainsi, $\cos( \pi a_n) = (-1)^{n+1}$. On peut donc écrire que $$\sin(n! \frac{\pi}{e}) = \sin(\pi a_n + \pi n! b_n) = \sin(\pi a_n) \cos(\pi n! b_n) + \sin (\pi n !b_n) \cos(\pi a_n) = \sin(\pi n! b_n)(-1)^{n+1}
$$ $b_n = \sum_{k=n+1}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!}$.
$b_{n+1} = \sum_{k=n+2}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k!}$.
$b_n = b_{n+1} + \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$.
$b_{n+1}$ est un reste de la série alternée $\sum \frac{(-1)^n}{n!}$. Alors $$\left \lvert b_{n+1} \right \lvert \leq \left \lvert \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} \right \lvert = \frac{1}{(n+1)!} .$$ Donc $$b_n \sim \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$$ et $$n! b_n \sim \frac{(-1)^{n+1}}{n}.
$$ Ainsi, comme $n ! b_n \to 0$, $$\sin(\pi n! b_n)(-1)^{n+1} \sim \pi n! b_n (-1)^{n+1} \sim \frac{\pi}{n}$$ $0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{\pi}{n}$ donc $\sum \frac{\pi}{n}$ diverge car la série harmonique diverge.
Comme $\sin(n! \frac{\pi}{e}) \sim \frac{\pi}{n}$, et que ces deux termes sont de signe constant (positif) (ah bon ?), on en déduit que $\sum \sin(n! \frac{\pi}{e})$ diverge.
Je vais proposer tardivement une rédaction.
On cherche la nature de la série de terme général $u_{n}=\sin n! \frac{\pi}e $.
On découpe : $\displaystyle \frac{1}{e}=\sum_{k=0}^{+\infty }\frac{(-1)^{k}}{k!}=s_{n}+r_{n}$, avec : $\displaystyle s_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}$ et $\displaystyle r_{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty }\frac{(-1)^{k}}{k!}$.
On a d'abord, pour $n \ge 2$ :
$ \displaystyle n!s_{n}=\frac{n!}{0!}-\frac{n!}{1!}+...+\frac{(-1)^{n-2}n!}{(n-2)!}+\frac{%
(-1)^{n-1}n!}{(n-1)!}+\frac{(-1)^{n}n!}{n!}=2k_{n}+n+1$, avec $k_{n}\in \mathbb{Z}$.
Et ensuite mon idée est de « dés-alterner » (pour ainsi dire) la valeur absolue de $r_n$ en regroupant ses termes consécutifs deux par deux : $r_{n}=(-1)^{n+1}(\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{(n+3)!}-\frac{1}{(n+4)!}+...)$
$~~~~~~~~~~~~~~~~=(-1)^{n+1}(\frac{n+1}{(n+2)!}+\frac{n+3}{(n+4)!}+...)\sim (-1)^{n+1}\frac{n+1}{(n+2)!}$.
D'où : $n!r_{n} \sim (-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{(n+2)!} = \frac{(-1)^{n+1}}{n+2}\sim \frac{(-1)^{n+1}}{n}$.
En conséquence : $u_{n}=\sin n! \frac{\pi}e =\sin (n!s_{n}\pi +n!r_{n}\pi )=\sin
((2k_{n}+n+1)\pi +n!r_{n}\pi )~$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(-1)^{n+1}\sin (n!r_{n}\pi ) \sim (-1)^{n+1} n!r_{n}\pi \sim \frac{\pi }{n}$.
Cette série n'est donc pas alternée, contrairement à sa vénérable ancêtre.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
28/10/2021
Il y a quelques imprécisions mathématiques dans ta preuve.
Ta majoration de $|b_{n+1}|$ est trop faible pour prouver l'équivalent simple de $b_n$
Ta constatation sur les signes respectifs avant de conclure n'est pas la bonne.
Pour les signes j'ai vu, mais dans ce cas je ne sais pas comment conclure... Puis-je dire que $\sum \left \lvert \sin(n!\pi/e) \right \lvert$ diverge car sont terme général est cette fois-ci bien de même signe que celui de $\sum \pi /n$ ? Alors en particulier $\left \lvert \sin(n! \pi /e) \right \lvert$ ne tend pas vers $0$, donc $ \sin(n! \pi /e)$ ne tend pas vers $0$ et $\sum \sin(n! \pi /e)$ diverge car son terme général ne tend pas vers $0$ ?
> Le critère spécial des séries alternées possède 3 prémisses et 3 conclusions.
Mince ! Moi qui croyais connaître ce critère, je suis embarrassé. Tentative :
Hypothèses :
- $u_nu_{n+1}\le0$ pour tout $n$ ;
- $\bigl(|u_n|\bigr)$ décroît vers zéro ;
- ?
Conclusions :- la série $\sum u_n$ converge ;
- les suites des sommes partielles d'indices respectivement pairs et impairs sont adjacentes ?
- le reste est majoré par la valeur absolue du premier terme négligé, i.e. $\left|\sum_{k\ge n+1}u_n\right|\le |u_{n+1}|$ pour tout $n$.
C'est ce que tu veux dire ?ta deuxième prémisse en contient $2$ (:P)
je remplacerai ta deuxième conclusion (qui implique la première) par, pour tout $n\in\N,~R_nu_{n+1}\geqslant 0$.
Ce n'est pas parce que $b_{n+1}$ converge vers $0$ que tu peux en déduire l'équivalent simple souhaité.
Pour la fin, ne te complique pas la vie et relis ton cours sur l'utilisation des équivalents simples pour les natures de séries.
Il faut montrer que $b_{n+1} = o(\frac{1}{(n+1)!})$, de sorte que $b_n = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} + o(\frac{1}{(n+1)!})$, donc $b_n \sim \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ ?
Pour utiliser des équivalents et en déduire la nature des séries, dans mon cours on doit toujours avoir des séries de signe constant et de même signe de chaque côté...
Et il manque des factorielles un peu partout.
Pour la fin du raisonnement "signe constant" est le mot clé attendu, pas "de même signe".
Mais comme $n! b_n \to 0$, on peut dire que pour $n$ assez grand, $ \pi n! b_n$ est dans $[0, 1]$, donc dans $[0, \frac{\pi}{2}[$, ce qui permet de dire que $\sin(n! \pi b_n)$ est de signe constant ?
Pour l'autre cas,
Il faut montrer que $b_{n+1} = o(\frac{1}{(n+1)!})$, de sorte que $b_n = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} + o(\frac{1}{(n+1)!})$, donc $b_n \sim \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ ?
On forme donc le rapport $(n+1)! b_{n+1}$ et on montre qu'il tend vers $0$. Par la majoration un peu plus haut, $|b_{n+1}| \leq \frac{1}{(n+1)!}$ donc $(n+1) ! b_{n+1} \to 0$ ? Mon raisonnement est juste de dire que "c'est moins grand au numérateur pour $\frac{|b_{n+1}|}{\frac{1}{n+1}}$" donc ça tend vers 0... Sinon je ne vois pas.
Heureusement, tu n'as pas encore exploité le plein potentiel du théorème des séries alternées.
Pour le signe constant, tu as une propriété de conservation du signe quand deux suites sont équivalentes qui te permet de ne t'intéresser qu'au signe (constant) de $\pi/n$ pour en déduire le signe constant à partir d'un certain rang de $\sin(...)$.
En réponse à ta question ci-dessus, j'enseigne le critère ainsi :
Si $u$ est une suite réelle telle que :
- la suite $((-1)^nu_n)_{n\in\N}$ est de signe constant,
- la suite $|u|$ est décroissante,
- la suite $u$ tend vers $0$,
alorsOn pourrait ajouter que les suites $\displaystyle \left(\sum_{k=0}^{2n}u_k\right)_{n\in\N}$ et $\displaystyle \left(\sum_{k=0}^{2n+1}u_k\right)_{n\in\N}$ sont adjacentes et encadrent la somme mais les élèves n'arrivent jamais à retenir laquelle est de quel côté...
Par ailleurs, le dernier point est souvent suffisant.
Quant à la séparation entre ma deuxième et ma troisième prémisse, elle me parait indispensable : beaucoup trop nombreux sont les élèves persuadés que si une suite tend vers $0$ alors sa valeur absolue est décroissante... En l'explicitant, cela les incite à se poser la question.
Ah oui elles ont le même signe à partir d'un certain rang car équivalentes.
Pour ce qui concerne les restes dans le critère spécial des séries alternées, j'ai simplement que $b_{n+1}$ est du signe de $(-1)^{n+1}/(n+1)!$ en plus.
Écris $b_{n+1}$ explicitement pour le comprendre.
$$ \mathrm{e}^{-1} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} + (-1)^{n+1}\int_{0}^{1} \frac{(1-t)^{n}}{n!} \mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t \\
\pi\mathrm{e}^{-1}n! = \pi \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \frac{n!}{k!} + \pi(-1)^{n+1}\int_{0}^{1} (1-t)^{n}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t.
$$ On suppose $n \geq 1$. La somme $\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \frac{n!}{k!}$ est un entier dont les termes sont nuls (modulo 2) dès que le produit $n(n-1)$ apparait. Ainsi $\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \frac{n!}{k!} \equiv (-1)^{n-1}n + (-1)^{n} \mod 2$. Si $n$ est pair, la somme est impaire; si $n$ est impair, la somme est paire. Dans tous les cas, il vient :
$$ \sin ( \pi\mathrm{e}^{-1}n!) = \sin \Big( \pi\int_{0}^{1} (1-t)^{n}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t \Big) .
$$ Posons $v_{n} = \pi\int_{0}^{1} (1-t)^{n}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t$. On voit facilement que la suite $(v_{n})$ est positive et décroissante. Enfin l'encadrement
$$ 0 \leq \pi\int_{0}^{1} (1-t)^{n}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t \leq \frac{\pi}{n+1} $$ assure que $v_{n} \in [0, \frac{\pi}{2}] $, pour $n \geq 1$. On en déduit grâce à la croissance du sinus sur cet intervalle, la positivité et la décroissance vers $0$ de la suite de terme général $\sin v_{n}$.
Mieses vient de démontrer (brillamment), que la suite $u_n = sin(\frac{\pi}{e}n!)$
était positive, monotone (à la nuance près que $u_0=u_1$) décroissante vers 0
pour prouver la divergence de la série de terme général $u_n$ il fallait trouver un équivalent pour $u_n$
notre ami Chaurien a donné un équivalent plus haut $\frac{\pi}{n}$ en montrant que la suite n'est pas alternée
l'équivalent serait-il plutôt $\frac{\pi}{n+1}$ comme le suggère Mieses
et comme le calcul empirique des 8 premiers termes de $u_n$ le confirme ?
bravo en tout cas à tous les intervenants pour cette étude difficile d'une série surprenante
Cordialement
Une IPP donne effectivement un équivalent en $\frac{\pi}{n+1}$ en utilisant la méthode du développement avec reste intégrale : $\int_{0}^{1} (1-t)^{n}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t = \frac{1}{n+1} + o \left( \frac{1}{n+1} \right)$. $v_{n} \sim \frac{\pi}{n+1}$. D'où $\sin(n!\pi\mathrm{e}^{-1}) \sim v_{n} \sim \frac{\pi}{n+1} \sim \frac{\pi}{n}$.
Il y a toute une famille d'exercices avec des séries de la forme $u_n=\sin \lambda_n \pi$, où la suite réelle $ \lambda_n $ tend vers $+\infty$, mais en se rapprochant d'un entier. L'étudiant un peu pressé dit : $ \lambda_n \pi \rightarrow +\infty$, or la fonction sinus n'a pas de limite en $+\infty$, d'où la suite $u_n=\sin \lambda_n \pi$ n'a pas de limite, et la série diverge grossièrement. C'est raté.
Un que j'aime bien fait intervenir le Nombre d'Or $\Phi= \frac {1+\sqrt 5}2$, et c'est la série de terme général $u_n= \sin \Phi^n \pi$. Chaque nombre de Pisot peut fournir une telle série.
On peut aussi en fabriquer avec cosinus ou tangente.
Pour en revenir au sujet initial, je n'avais pas pensé à remplacer $e$ par $\frac 1e$, et là on assiste à un renouvellement, très intéressant. Jusqu'à maintenant, je résolvais ce genre de problème sans intégrales mais pourquoi pas ?
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Le sujet ENS épreuve C 2012 est sur les nombres de Pisot https://www.ens.psl.eu/IMG/file/concours/2012/MP I/mp2012_sujet_math_c_ulc[1].pdf
Il y a un autre sujet plus ancien ENS Ulm 1989 M’ toujours sur les nombres de Pisot disponible dans le site
https://concours-maths-cpge.fr/
Biographie sur Charles Pisot http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa51/aa5111.pdf
Photo de Charles Pisot au congrès de Bourbaki 1938 à Dieulefit https://fr.wikipedia.org/wiki/Charles_Pisot
sur cette même photo Simone Weil, Charles Pisot, André Weil, Jean Dieudonné mathématicien, Claude Chabauty, Charles Ehresmann, Jean Delsarte
Comptes rendus de réunions Bourbaki http://sites.mathdoc.fr/archives-bourbaki/
Le sujet de 1989 est publié aussi dans la RMS n° 1, septembre 1989.
Le sujet de 2012 est aussi sur le site UPS. Ce sujet note bêtement $\mathcal P$ l'ensemble des nombres de Pisot, que Pisot (et tout le monde à sa suite) note $S$, en l'honneur de Raphaël Salem.
Pas de corrigé ni dans la RMS ni sur le site UPS, malheureusement.
J'ai été l'élève de Charles Pisot en DEA en 1980, sa dernière année d'exercice, et j'en ai gardé un excellent souvenir.
Bonne journée.
Fr. Ch.
C'est le problème 6513, énoncé RMS 1, 1989-90, septembre 1989, p. 21.
Solution RMS 2, 1990-91, octobre 1990, p. 136.
Bonne nouvelle.
Fr. Ch.
retour sur cette suite déroutante : en fait $u_n = sin(\frac{\pi}{e}n!)$ est décroissante de n = 1 à n = 37
avec donc un minimum local égal à $u_{37} = 0,0800526566117...$
puis elle est croissante jusqu'à n = 41 avec donc un maximum local égal à $u_{41} = 0,724108463568149721...$
avant de chuter vers sa première valeur négative : $u_{42} = - 0,521325653053....$
de n = 40 à n = 49, trois termes sont négatifs ;
puis de n = 50 à n = 59 sept termes sont négatifs
et enfin de n = 60 à n = 69 six termes sont négatifs
donc apparemment au delà de n= 40, 50 % des termes sont négatifs :
l'alternance de signe et de variation de cette suite est respectée
mais cette suite ne s'annule jamais
quant au minorant de $u_n$ il n'existe pas, avec des termes de la suite proches des bornes
en effet $u_{58} = - 0,9979512127...$ et $u_{68} = 0,8754805018...$
cette suite singulière comme dit Mieses ne se prête pas une récurrence simple et donc son étude est compliquée
seul un calcul empirique permet de contredire l'auteur de l'énoncé : cette suite n'admet pas de minorant, ni de majorant
ses termes alternent de signe de façon irrégulière avec bien-sûr des valeurs strictement comprises entre - 1 et 1
la suite de terme général $u_n$ converge vers 0 d'une façon alternée et encadrée
et la série de terme $u_n$ converge vers une limite inconnue
je signale une suite analogue à $u_n$ il s'agit de $v_n = sin(e^n)$, plus simple que sa cousine
Cordialement
On a démontré de deux façons dans les messages précédents que la suite $u_n = \sin(\dfrac{\pi}{e}n!)$ est positive décroissante de limite nulle.
La non décroissance de la suite et les valeurs négatives que tu trouves par exemple pour $u_{42}$ sont dues à des erreurs de calcul, ce qui s'explique par le fait que $42!$ est trop grand (supérieur à $10^{50}$).
Avec un logiciel (Maple) je trouve que $u_{42}\approx 0.071375$.