Mesure de Lebesgue

Bonsoir,
Certaines parties de $\mathbb{R}$ ne sont pas mesurables (les ensembles de Vitali, par exemple).

Plus précisément, tu peux démontrer qu’il n’existe pas de mesure sur $(\R, P(\R))$ de sorte que la mesure d’un intervalle soit égal à sa longueur.

Mon affirmation était fausse. Voir les messages de Poirot ci-dessous.

La mesure de Lebesgue est naturellement définie sur la tribu borélienne. Elle s'étend naturellement à sa tribu complétée, la tribu de Lebesgue. Rien n'empêche a priori que la mesure de Lebesgue admette un prolongement à tout $\mathcal P(\mathbb R)$. Ce qui est certain, c'est qu'elle ne peut admettre de prolongement qui reste invariant par translation à cause des ensembles à la Vitali.

Il se trouve que la possibilité d'étendre la mesure de Lebesgue en une mesure sur $\mathcal P(\mathbb R)$ est équiconsistant (au dessus de $\mathsf{ZFC}$) avec l'existence d'un cardinal mesurable (Solovay, Real-valued measurable cardinals, 1971). En particulier, il est impossible de démontrer qu'une telle extension existe.

Oui. Il existe notamment des modèles de $\mathsf{ZF} + \mathsf{DC}$ tels que la tribu de Lebesgue est $\mathcal P(\mathbb R)$. Tu vas me dire que l'on n'a pas l'axiome du choix dans ces modèles. Je t'avoue que je ne sais pas s'il est consistant que l'on ait l'axiome du choix et l'existence d'une mesure prolongeant la mesure de Lebesgue sur tout $\mathcal P(\mathbb R)$ (qui à nouveau ne pourra être invariante par translation d'après la construction de Vitali).

En cherchant un nouvelle motivation pour l’introduction des tribus dans mon cours de probabilités, je suis tombé sur le théorème de Ulam que je ne connaissais pas.

J’ai peut-être loupé une subtilité, mais ce théorème semble indiquer que ma motivation précédente n’était pas fausse (non existence de la loi uniforme sur $[0,1]$ muni de la tribu des parties). Où est la différence avec ce que Poirot a indiqué? Est-ce que cela vient du fait que le théorème se limite aux probabilités?

Édit : Je crois que j’ai trouvé (l’article n’est pas très clair) : je crois que le théorème d’Ulam suppose l’hypothèse du continu…