Somme d'arctangentes

$$f(x)=\arctan (x+1)+\arctan (1-x)+\arctan ({{x}^{2}}-x+1)+\arctan ({{x}^{2}}+x+1)$$

$f’(x)=0$ si je ne me suis pas trompé, donc $f$ est constante, en prenant la limite en $+\infty $ on a $\pi $

@Math Coss merci pour la vérification avec Sage.

Ces égalités proviennent d'une même égalité valable pour tout $x$ réel : $\arctan (x+1)+\arctan ({{x}^{2}}+x+1)=\dfrac{\pi}2+\arctan (x)$ (*).

On démontre cette égalité par dérivation ou bien directement en montrant que $\arctan (x+1)-\arctan (x)=\dfrac{\pi}2-\arctan ({{x}^{2}}+x+1)$ :
les deux membres ont la même tangente, le premier est compris entre $0$ et $1$ (par l'égalité des accroissements finis) et le second est clairement compris entre $0$ et $\dfrac{\pi}2$.

On obtient la première égalité donnée par Fibonacci en ajoutant (*) pour $x$ et pour $-x$.

On obtient la seconde égalité donnée par Fibonacci en ajoutant (*) pour $x$, $-x$, $1+x$, $1-x$ et en simplifiant.

Cette dernière formule s'obtient directement en posant $x=1+t^2-t^4$ dans la formule que j'ai donnée ici

La formule donnée par Fibonacci, $\arctan a+\arctan b=\arctan \frac{ab-1}{a+b}+\frac{\pi }{2}$, n'est pas valable sans conditions sur $a$ et $b$ :
le second membre étant positif, il faut $a+b>0$ pour que le premier membre soit aussi positif.

On peut montrer qu'elle est valable pour $a+b>0$.

Si on pose $a=1+x$ et $b=1+x+x^2$ dans la formule donnée par Fibonacci, $\arctan a+\arctan b=\dfrac{\pi }{2}+\arctan \dfrac{ab-1}{a+b}$ (formule valable pour $a+b>0$), on obtient la formule que j'ai proposée juste au-dessus : $\arctan (x+1)+\arctan ({{x}^{2}}+x+1)=\dfrac{\pi}2+\arctan (x)$.