Factorielle de i

Amatheur01
Amatheur01
dans Algèbre
Bonsoir à tous

Je me demandais : peut-on calculer $\ i!\,$, avec la fonction $\Gamma$ par exemple ? Si oui, comment ?

Merci par avance, bonne soirée.

Réponses

  • Dom
    Dom
    La partie réelle d’un complexe $z$ doit être strictement positive pour pouvoir parler de $\Gamma(z)$ me semble-t-il.

    Édit : cela dit, après réflexion, ce serait $\Gamma(i+1)$ qui donnerait ce nombre $i !$.
  • Math Coss
    Math Coss
    La factorielle d'un entier $n$ est $\Gamma(n+1)$. Pour $i$ la racine carrée de $-1$ « habituelle », on peut poser \[i!=\Gamma(i+1)\simeq 0{,}498015668118356 - 0{,}154949828301811i.\] 
    sage: gamma(i+1).n()
0.498015668118356 - 0.154949828301811*I
sage: numerical_integral(real(x^i)*exp(-x),0,100)
(0.49801567101298366, 6.839749466625544e-08)
sage: numerical_integral(imag(x^i)*exp(-x),0,100)
(-0.15494981787933676, 3.6987954452133265e-07)
  • Amatheur01
    Amatheur01
    D'accord, merci !

    Donc, il est possible de calculer des coefficients binomiaux i parmi n ou vice-versa ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Vice-versa marche mieux. 
    sage: binomial(17,i)
(message d'insultes dont la dernière ligne, la seule importante est...)
TypeError: either m or x-m must be an integer
sage: binomial(i,17)
-87995911/804722688*I + 394259/100590336
  • Amatheur01
    Amatheur01
    D'accord, merci beaucoup ! :-)

    Bonne journée,
  • Amatheur01
    Amatheur01
    Petite parenthèse : vous utilisez SageMath pour vos calculs ? :-)
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour

    tu peux définir $\Gamma(1+i)$ à partir du développement en série factorielle (les coefficients sont appelés antifactorielles) :

    $\Gamma (1+x) = 1 + (1-\frac{1}{1!})x+(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!})x(x-1) + (1- \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!})x(x-1)(x-2) + .......$

    pour le calcul numérique de $\Gamma(1+i)$ il convient de passer par le développement :

    $ln\Gamma(1+x) = - x\gamma + \frac{x^2}{2}Z_2 - \frac{x^3}{3}Z_3 + \frac{x^4}{4}Z_4 - ...........$

    avec $\gamma$ la constante d'Euler et $Z_n$ les séries numériques de Riemann

    pour x = i tu obtiens en effet le résultat annoncé par Math Coss et pour x = - i tu obtiens le conjugué de ce nombre complexe

    sachant que le module commun de ces deux nombres complexes conjugués est $\sqrt{\frac{\pi}{sh\pi}} = 0,52156404686....$

    mais attention ! tu ne peux définir la factorielle de i , cette opération est réservée aux entiers

    de même sans parler de factorielle de i tu peux définir :

    $\begin{pmatrix}i\\17\end{pmatrix} = \frac{i(i-1)(i-2)........(i-18)}{17!} = \frac{394259}{100590336} - i\frac{87995911}{804722688}$

    par contre tu ne peux pas parler de $\begin{pmatrix}17\\i\end{pmatrix}$ qui n'existe pas

    Cordialement
  • Amatheur01
    Amatheur01
    Bonjour jean lismonde,
    Merci beaucoup pour vos précisions (en particulier pour le module).

    J'ai une autre question, est-ce qu'on peut avoir, d'après la définition de la fonction Gamma, $i! = \Gamma(i+1) = \int_{0}^{+\infty} t^{(i+1)-1}e^{-t}dt = \int_{0}^{+\infty} t^{i}e^{-t}dt$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Tes dernières égalités sont correctes, par définition de la fonction $\Gamma$. L'écriture $i!$ est abusive et n'est pas standard, mais c'est cohérent avec la propriété bien connue donnant le lien entre la fonction $\Gamma$ et les factorielles.
  • Amatheur01
    Amatheur01
    D'accord merci.

    Peut-on établir une primitive de $t^i e^{-t}$ alors ?
  • Math Coss
    Math Coss
    On peut la nommer mais pas l'exprimer à l'aide des fonctions usuelles. C'est la raison pour laquelle la fonction gamma est une fonction spéciale qui ne s'exprime pas autrement que par une intégrale (ou une limite d'un produit ou...).
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