Factorielle de i
dans Algèbre
Bonsoir à tous
Je me demandais : peut-on calculer $\ i!\,$, avec la fonction $\Gamma$ par exemple ? Si oui, comment ?
Merci par avance, bonne soirée.
Je me demandais : peut-on calculer $\ i!\,$, avec la fonction $\Gamma$ par exemple ? Si oui, comment ?
Merci par avance, bonne soirée.
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Réponses
Édit : cela dit, après réflexion, ce serait $\Gamma(i+1)$ qui donnerait ce nombre $i !$.
Donc, il est possible de calculer des coefficients binomiaux i parmi n ou vice-versa ?
Bonne journée,
tu peux définir $\Gamma(1+i)$ à partir du développement en série factorielle (les coefficients sont appelés antifactorielles) :
$\Gamma (1+x) = 1 + (1-\frac{1}{1!})x+(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!})x(x-1) + (1- \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!})x(x-1)(x-2) + .......$
pour le calcul numérique de $\Gamma(1+i)$ il convient de passer par le développement :
$ln\Gamma(1+x) = - x\gamma + \frac{x^2}{2}Z_2 - \frac{x^3}{3}Z_3 + \frac{x^4}{4}Z_4 - ...........$
avec $\gamma$ la constante d'Euler et $Z_n$ les séries numériques de Riemann
pour x = i tu obtiens en effet le résultat annoncé par Math Coss et pour x = - i tu obtiens le conjugué de ce nombre complexe
sachant que le module commun de ces deux nombres complexes conjugués est $\sqrt{\frac{\pi}{sh\pi}} = 0,52156404686....$
mais attention ! tu ne peux définir la factorielle de i , cette opération est réservée aux entiers
de même sans parler de factorielle de i tu peux définir :
$\begin{pmatrix}i\\17\end{pmatrix} = \frac{i(i-1)(i-2)........(i-18)}{17!} = \frac{394259}{100590336} - i\frac{87995911}{804722688}$
par contre tu ne peux pas parler de $\begin{pmatrix}17\\i\end{pmatrix}$ qui n'existe pas
Cordialement
Merci beaucoup pour vos précisions (en particulier pour le module).
J'ai une autre question, est-ce qu'on peut avoir, d'après la définition de la fonction Gamma, $i! = \Gamma(i+1) = \int_{0}^{+\infty} t^{(i+1)-1}e^{-t}dt = \int_{0}^{+\infty} t^{i}e^{-t}dt$ ?
Peut-on établir une primitive de $t^i e^{-t}$ alors ?