Loi normale et jeux de pile ou face ou de dés
Bonjour
Je m'excuse par avance pour mes éventuelles erreurs ou approximations 8-).
Dans un jeu de type pile ou face, si on énumère pour n tirages les différentes possibilités qu'il est possible d'obtenir, qu'on calcule la répartition en fréquence de chaque combinaison et qu'on représente leurs répartitions dans un histogramme, on observe qu'on tend vers une loi "normale".
J'ai mis un exemple pour 5 tirages.
J'ai compris qu'on pouvait calculer la fréquence via le coefficient binomial (attention ce qui suit est peut-être faux).
Dans mon exemple : 1 5 10 10 5 1 respectivement C(5,0), C(5,1), C(5,2), ..., C(5,5)
Si on divise ces résultats de "comptage" par le nombre de tirages, on obtient bien la même "répartition de fréquences" que par énumération.
Le nombre de possibilités est 0, 1, 2, ..., 6 (soit de 0 à n+1 tirages).
Donc : fi = C(n, i)/n avec i=0, ..., n + 1 tirages et n le nombre de tirages.
Je cherche à calculer cette loi normale : la moyenne étant 50% mais que vaut l'écart-type ?
Pourriez-vous également me dire, svp, comment faire la même chose avec un jeu de dés, svp ? Il y a alors une probabilité de 1/6, 5 tirages (comme dans le cas précédent), etc.
Je vous remercie par avance pour vos explications !
Je m'excuse par avance pour mes éventuelles erreurs ou approximations 8-).
Dans un jeu de type pile ou face, si on énumère pour n tirages les différentes possibilités qu'il est possible d'obtenir, qu'on calcule la répartition en fréquence de chaque combinaison et qu'on représente leurs répartitions dans un histogramme, on observe qu'on tend vers une loi "normale".
J'ai mis un exemple pour 5 tirages.
J'ai compris qu'on pouvait calculer la fréquence via le coefficient binomial (attention ce qui suit est peut-être faux).
Dans mon exemple : 1 5 10 10 5 1 respectivement C(5,0), C(5,1), C(5,2), ..., C(5,5)
Si on divise ces résultats de "comptage" par le nombre de tirages, on obtient bien la même "répartition de fréquences" que par énumération.
Le nombre de possibilités est 0, 1, 2, ..., 6 (soit de 0 à n+1 tirages).
Donc : fi = C(n, i)/n avec i=0, ..., n + 1 tirages et n le nombre de tirages.
Je cherche à calculer cette loi normale : la moyenne étant 50% mais que vaut l'écart-type ?
Pourriez-vous également me dire, svp, comment faire la même chose avec un jeu de dés, svp ? Il y a alors une probabilité de 1/6, 5 tirages (comme dans le cas précédent), etc.
Je vous remercie par avance pour vos explications !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Ici, on a $m=\frac{1}{2}$ et $\sigma = \frac{1}{2}$, donc l'histogramme de $\frac{\sum_{i=1}^n X_i - \frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}}{2}}$ est proche de la courbe en cloche, autrement dit, l'histogramme de $\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$ (la fréquence d'apparition d'un face disons) est proche de la courbe en cloche correspondant à la loi normale de moyenne $\frac{1}{2}$ et d'écart-type $\frac{1}{2 \sqrt n}$.
Si tu veux faire pareil avec le résultat d'un lancer de dé, tu appliques le même théorème avec les bons paramètres. Dans ce cas tes $X_n$ suivront une loi uniforme sur $\{1, \dots, 6\}$. Si tu t'intéresses à la fréquence d'apparition d'un $6$ par exemple alors tu prendras plutôt $X_n$ suivant une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{6}$.
On note $X_k$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si on fait pile au $k$-ième tirage, et $0$ sinon. $X_k$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $1/2$, et les tirages seront supposés indépendants. On note $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Le théorème central-limite indique que la loi normale de paramètre $(n/2,n/4)$ est une bonne approximation de la loi de $S_n$, pour $n$ suffisamment grand...
Bon courage !
[Edit : Poirot a été à la fois plus rapide et plus précis que moi, vous pouvez ignorer mon message si vous avez déjà ce qu'il vous faut dans son message].
Je m'excuse mais je ne pense pas avoir saisi la formule de l'écart-type. Lorsque je l'applique j'ai des réponses qui semblent ne pas "coller".
J'ai fait un petit calcul pour 10 tirages pour le jeu du pile ou face (1024 possibilités = 2^10).
Et vous remarquerez que mu +/- 3 sigma donne des valeurs min et max qui semblent éloignées de ce qu'on attend!?
J'ai appliqué la formule 1/(2 sqrt(n)) avec n = 10.
Merci pour votre retour.
$n= 10$ (tirages)
$p= 1/2$ (probabilité de tirer $X_i$)
moyenne : $\mu = n p = 10 \times 1/2 = 5$
variance : $\sigma^2 = n p (1-p) = 10 \times 1/2 \times 1/2 = 2.5$
écart-type : $\sigma = \sqrt{variance} = 1.58113883 $
Min : $\mu - 3 \sigma = 0.25658351$
Max : $\mu + 3 \sigma = 9.74341649$
Je ne comprends pas le lien avec la formule $\sigma = \frac{1}{2 \sqrt{n}}$.
Je pense que c'est : $\sigma = \frac{\sqrt{n}}{2}$
Ah voilà ! Merci ça me turlupinait
Et donc pour un lancé de dés avec 6 faces : mettons A, B,...,F.
Si je m'intéresse à la face A, j'aurais une probabilité de $p=1/6$.
Donc après $n$ tirages, j'aurai une moyenne de $n p = \mu =10 \times 1/6=1.66 $
Et $\sigma=\sqrt{n p (1-p)}=1.179$
Et la même chose pour les autres faces ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Cordialement.
$\mu=10/6$
Après 10 tirages, je tirerais en moyenne 1.67 fois la face A.
Ça me semble logique...
Pour mon $\sigma$, je ne suis pas sûr car il me semble beaucoup trop élevé et $\mu \pm 3 \sigma$ est hors range.
Cordialement.
Et pour l'écart type svp ?
Cordialement.