Réciproque du théorème d'Euler
Bonjour
Quelqu'un a-t-il une référence de la preuve de la réciproque du théorème d'Euler ? Ou sait comment cela se démontre ? J'en ai vraiment urgemment besoin.
Voici l'énoncé du théorème.
Si $f$ est différentiable et vérifie $\displaystyle \lambda f(x)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)$ en tout point de $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{n}$, alors $f$ est homogène de degré $\lambda$ sur $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{n}$.
Merci d'avance.
Quelqu'un a-t-il une référence de la preuve de la réciproque du théorème d'Euler ? Ou sait comment cela se démontre ? J'en ai vraiment urgemment besoin.
Voici l'énoncé du théorème.
Si $f$ est différentiable et vérifie $\displaystyle \lambda f(x)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)$ en tout point de $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{n}$, alors $f$ est homogène de degré $\lambda$ sur $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{n}$.
Merci d'avance.
Réponses
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Évaluer la dérivée de $t \mapsto f(tx)$ en $1$.
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Je pense que tu es plutôt en train de démontrer le théorème d'Euler et non la réciproque.
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La réponse de sol est valable pour les deux implications. Il suffit de calculer la dérivée de deux façons différentes.
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En guise d'application tu peux t'amuser à trouver les fonctions $C^{1}$ de $\mathbb{R}^{2}$ telles que :
$$df(x,y).(x,y) = \sqrt{x^{4} + y^{4}}$$ -
J'essaie les indications de Sol , voici ce que je trouve :
$f_t^{\prime}(x) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)$.
Maintenant , en utilisant l'hypothèse, on obtient :
$f_t^{\prime}(x) = \lambda f(x)$. A ce niveau, je ne vois pas comment aboutir au résultat. -
$\lambda f(x) = \sum_i x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (x)$, ce n'est pas ça que tu voulais ?!
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C'est quoi $f_t'(x)$ en fait ?
Tu devrais essayer de trouver une équa diff simple vérifiée par $t\mapsto f(tx)$ (où $x$ est un vecteur fixé). -
Non Sol, ce n'est pas ce que je veux. C'est plutôt ça mon hypothèse. Je dis
Si $f$ est différentiable et vérifie $\displaystyle \lambda f(x)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)$ en tout point de $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{n}$, alors $f$ est homogène de degré $\lambda$ sur $\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{n}$. -
Ok. Pour $x$ fixé, soit $g$ la fonction $ t \longmapsto f(tx)$.
On a $ g^{\prime}(t) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)$. En utilisant l'hypothèse, on obtient :
$ g^{\prime}(t) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)=\lambda f(x)$. Donc
$ g^{\prime}(t) = \lambda g(1)$.
Cette dernière équation me donne:
$g(t)=\lambda g(1)t= \lambda f(x) t + constante $; c'est-à-dire :
$f(tx)=\lambda f(x)t+ f(0)$.
A ce niveau je ne vois pas comment on obtient le résultat. -
La fonction $f$ est positivement homogène de degré $\lambda$ si et seulement si, pour tout $x$, la fonction $g_x:t\mapsto \frac{1}{t^\lambda} f(tx)$ est constante.
On calcule sans difficulté la dérivée de $g$, qui est $g'(t)=\frac{-\lambda}{t^{\lambda+1}} f(tx)+\frac{1}{t^\lambda} Df(tx).x=\frac{1}{t^{\lambda+1}} (-\lambda f(tx)+Df(tx).(tx))$.
Ainsi les fonctions $g_x$ sont constantes si et seulement si la relation d'Euler est vérifiée. -
Lire $g_x$ au lieu de $g$ ...
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tylnx écrivait :http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2322732,2323390#msg-2323390
> Ok. Pour $x$ fixé, soit $g$ la fonction $ t \longmapsto f(tx)$.
> On a $ g^{\prime}(t) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)$.
Revois ton application de la règle de la chaîne. -
Ok math2, c'est très clair.
Merci à tous pour vos lumières !
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