Fractions inverses
dans Arithmétique
Une petite colle (niveau Terminale, Mohammed R si tu nous lis ;-)) qu'on peut résoudre avec ou sans astuces...
Soit $p$ un nombre premier.
Trouver tous les $(m,n)\in\mathbb Z^2$ tels que $\dfrac 2 p=\dfrac 1 m+\dfrac 1 n$.
Soit $p$ un nombre premier.
Trouver tous les $(m,n)\in\mathbb Z^2$ tels que $\dfrac 2 p=\dfrac 1 m+\dfrac 1 n$.
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Réponses
Ce serait plus rigolo avec $\dfrac 4 n=\dfrac 1 x+ \dfrac 1 y + \dfrac 1 z$, mais à ma connaissance, c'est encore un problème ouvert, ne serait-ce que de montrer qu'il y a toujours une solution en $x,y,z$, pour $n$ donné tel que $n\geq 4$.
Si quelqu'un a des nouvelles plus fraiches ...
Cordialement,
Rescassol
Donc ici, $a=p$ et $b=2m$, $c=2n$.
Donc
1) $\lambda=p$ et $u=v=1$, donc $m=p$, $n=p$
ou
2) $u=p$ et $\lambda=v=1$,donc $p(p+1)=2m$, $p+1=2n$, donc si $p>2$, $m=p(p+1)/2$, $n=(p+1)/2$.
ou
3) cas semblable à 2): si $p>2$, $m=(p+1)/2$, $n=p(p+1)/2$.
Si $p>2$, $(m,n)=(p,p)$ ou $(p(p+1)/2,(p+1)/2)$ ou $((p+1)/2,p(p+1)/2)$.
Quels sont ses points rationnels ? Très bonne question :)o
4) $\lambda=-1$, $u=1$, $v=-p$, donc $b=p-1$, $c=-p(p-1)$, donc $m=(p-1)/2$, $n=-p(p-1)/2$ si $p>2$
5) $m=-p(p-1)/2$, $n=(p-1)/2$ si $p>2$.
Je te remercie gai requin d'avoir pensé à moi mais le seul couple que j'avais trouvé était $S = {(p,p)}$... Je m'étais également rendu compte que $m+n$ était un nombre pair ce qui nous renseigne sur la parité de $m$ par rapport à celle de $n$. Je n'ai rien trouvé de plus cependant 8-)
Merci,
Mohammed R