Décomposition de nombre premier pythagoricien

francoiswolf · October 2021

Bonjour
On sait que la décomposition d'un nombre premier de forme 1 modulo 4 en somme de deux carrés est unique d'après le théorème des deux carrés de Fermat.
On sait d'après l'identité de Lagrange qu'un produit de sommes de carrés correspond à une autre somme de carrés.
Question : soit p=x²+y², est-ce que la décomposition de p² en somme de deux carrés est unique également ?
Si oui, peut-on démontrer que la décomposition de pⁿ avec n>2 en deux carrés est unique ?
Merci

LOU16 · October 2021

Bonjour,
Il y a unicité dans le sens suivant.

Soient $p$ premier tel que $p \equiv 1 \mod 4\:\:$ et $n\in \N^*.$
Alors il existe une unique paire $\{x_n, y_n\}$ d'entiers naturels tels que: $\quad x_n,y_n \not\equiv 0 \mod p, \quad p^n=x_n^2+y_n^2.$
De plus: $ \forall n \in \N^*, \quad \{x_n ,y_n\} =\Big\{ \left|\mathfrak {Re} (x_1 + y_1\mathrm i)^n \right|,\:\: \left|\mathfrak {Im} (x_1 + y_1\mathrm i)^n \right|\Big\}.$

Ce fait résulte du caractère factoriel de $ \Z[\mathrm i ].$

francoiswolf · October 2021

Merci LOU16 pour cette réponse

Chaurien · October 2021

Plus généralement, on peut déterminer le nombre de décompositions d'un entier positif en sommes de deux carrés, nombre qui peut être $0$.
https://oeis.org/A002654

gai requin · October 2021

Oui, et il est facile de retenir que $N\in\mathbb N^*$ sans facteurs carrés est représenté par la forme quadratique binaire $x^2+y^2\Leftrightarrow -1$ est un carré modulo $N$.

Décomposition de nombre premier pythagoricien

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