Arrêt optimal pour un dé

Hum, mes calculs me disaient d’arrêter dès que le dé montre $13$ ou plus et mon ordinateur me dit que c’est $87$ qu’il faut attendre... Je m’y remets demain !

Problème très rigolo, en effet, merci du partage !

Je prends $100 = N$.

D'abord, faut-il bien choisir un seuil ?

Eh bien, si j'en suis au $n$ ème lancer, de résultat observé $X_n$, mon gain si je m'arrète est $X_n - n$.

Mon gain potentiel si je continue est $Z_n = \sup_{t>n} \{X_t-t\}$.

Alors $Z_n$ est indépendant de $X_n$, et la loi de $Z_n + n$ ne dépend pas de $n$.

Donc j'ai intérêt à continuer si $E[Z_n] \ge X_n - n$, si $X_n \le E[Z_0] < \infty$.

Donc oui, il faut choisir un seuil $S_0$ : partie entière de $E[Z_0]$.

Mais combien vaut ce seuil, donc cette espérance ?

Si j'ai choisi le seuil $S$, mon gain s'écrit : $G(S) = X_T - T$ où $T$ est le numéro du lancer où je dépasserai strictement le seuil $S$ pour la première fois.

Or :
$T$ est géométrique de paramètre $1 - \frac{S}{N} = \frac{N-S}{N}$.
$X_T$ est uniforme sur $S+1:N$. (et indépendante de $T$)

Donc $g(S) = E[G_S] = \frac{N+1+S}{2} - \frac{N}{N-S}$.

Je regarde les variations :
$g(S) - g(S-1) =
\frac{1}{2} + \frac{N}{N+1-S} - \frac{N}{N-S}
= \frac{1}{2(N+1-S)(N-S)} \cdot \big[S^2 - (2N+1)S + N(N-1)\big]
$

Discriminant $\Delta = 8N+1$.

Donc $g$ est maximisée pour $S = S_0 = \left\lfloor\frac{2N+1 - \sqrt{8N+1}}{2}\right\rfloor \approx \left\lfloor N - \sqrt{2N} + \frac{1}{2}\right\rfloor$.

Pour $N = 100$, ce qu'il y a dans la partie entière vaut $86.3490283019151$, donc le seuil est bien donné par lourrran $S_0 = 86$ et l'espérance est $g(S_0) = \frac{187}{2} - \frac{100}{14} = 86.35714285714286$ aussi donnée par lourrran.

Bonus, espérance de $Z_0$.

La fonction de répartition de $Z_0$ est :
$P(Z_0 \le x) =
\prod\limits_{t\ge 1} P(X_t \le x + t) = \frac{(x+1)(x+2)\times\dots \times N}{N^{N-x}}$.

Donc $E[Z_0] = N - \sum\limits_{x=0}^{N-1} P(Z_0 \le x) = 86.79003936978403$

Et on trouve aussi le seuil ainsi : c'est la partie entière $86$.

J'ajoute, mais je sais pas si ça veut dire quelque chose, que, pour $Y$ de Poisson $\mathcal{P}(N)$, l'espérance s'écrit $E[Z_0] = N - \frac{P(Y<N)}{P(Y=N)}$.

La notion de stratégie optimale est-elle si claire ? Le paradoxe de Saint-Pétersbourg permet d'en douter.

J’ai calculé quelque chose comme ce qu’a proposé marsup mais je me suis gouré en cherchant les racines. Par contre, le tableur m’a permis de trouver le maximum, mais comme je me suis trompé dans la formule pour l’espérance d’une loi uniforme, c’est faux mais pas de beaucoup.

@marsup : Je vais essayer de formaliser un peu plus ta proposition : j’ai l’impression que tu affirmes « pour toute stratégie, si l’espérance est inférieure à un certain nombre, alors en moyenne, j’ai intérêt à continuer à jouer pendant un certain nombre -aléatoire- de coups », auquel cas je pense, a priori, que ce n’est pas exactement ça qu’on veut ; mais je fais peut-être la fine bouche parce que je suis jaloux de n’avoir pas été aussi loin que toi