Application 1 lipschitzienne
Bonsoir,
Dans un exercice qui est le suivant :
On munit $\R^2$ de ses normes usuelles.
Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ une fonction. Pour $(x,y) \in \R^2$, on note $f_x$ et $f_y$ les applications partielles :
$f_x : \R \longrightarrow \R \\ t \mapsto f(x,t)$ et $f_y : \R \longrightarrow \R \\ t \mapsto f(t,y)$
On pose $\varphi_x=f \circ \varphi_1$ avec $\varphi_1 : \R \longrightarrow \R^2 \\ t \mapsto (x,t)$
Dans le corrigé, on dit que $\varphi_1$ est 1-lipschitzienne au sens de chacune des normes usuelles de $\R^2$.
Je dois le démontrer pour chaque norme à chaque fois ?
Dans un exercice qui est le suivant :
On munit $\R^2$ de ses normes usuelles.
Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ une fonction. Pour $(x,y) \in \R^2$, on note $f_x$ et $f_y$ les applications partielles :
$f_x : \R \longrightarrow \R \\ t \mapsto f(x,t)$ et $f_y : \R \longrightarrow \R \\ t \mapsto f(t,y)$
On pose $\varphi_x=f \circ \varphi_1$ avec $\varphi_1 : \R \longrightarrow \R^2 \\ t \mapsto (x,t)$
Dans le corrigé, on dit que $\varphi_1$ est 1-lipschitzienne au sens de chacune des normes usuelles de $\R^2$.
Je dois le démontrer pour chaque norme à chaque fois ?
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Réponses
J'avais fait ça en exercice récemment c'est pas difficile.
Je suppose la norme un, la norme deux et la norme infinie.
Soit $\varphi_1$ et $\varphi_2$ deux normes équivalentes sur $E$ et $\psi_1$ et $\psi_2$ deux normes équivalentes sur $F$. Supposons $f: A \subset E \longrightarrow F$ soit lipschitzienne pour les normes $\varphi_1$ et $\psi_1$ et montrons que c'est également le cas pour les normes $\varphi_2$ et $\psi_2$.
Soit $k \geq 0$ tel que $\forall (x,y) \in A^2 \ \psi_1( f(x)-f(y)) \leq k \varphi_1 (x-y)$
Il existe des réels strictement positifs $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$ et $\beta_2$ tels que :
$\alpha_1 \varphi_1 \leq \varphi_2 \leq \alpha_2 \varphi_1$ et $\beta_1 \psi_1 \leq \psi_2 \leq \beta_2 \psi_1$
Pour $(x,y) \in A^2$ on a $\psi_2 ( f(x)-f(y)) \leq \beta_2 \psi_1 (f(x)-f(y)) \leq \beta_2 k \varphi_1(x-y) \\ \leq \beta_2 k \dfrac{1}{\alpha_1} \varphi_2 (x-y)$
Donc $f$ est lipschitzienne pour les normes $\varphi_2$ et $\psi_2$.