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Ce groupe est-il sans torsion ?

Bonsoir,
J'ai fini la série d'exercices du chapitre XII d' "Algèbre le grand combat" mais cette question (exercice 16) me tient tête:

Je dispose d'un groupe abélien $D$ - divisible- et d'un sous-groupe $G \subset D$ supposé sans torsion et je suppose que pour tout $d \in D$ il existe $n \ge 1$ tel que $nd \in G$.

Je souhaite établir que $D$ est sans torsion et voici mon raisonnement:

Soit $d \in D$, s'il existe $m \ge 1$ tel que $md = 0$ mais alors $nmd=0$ dans $G$ donc $nd = 0$ puisque $G$ est sans torsion ... mais comment conclure que $d = 0$ ?

La réponse est sans doute évidente mais j'espère vivement m'extirper de cette ornière avec l'aide des intervenants du forum ...

Réponses

  • L'énoncé a l'air faux pour $D=\Q/\Z$ et $G=\{0\}$.
  • En effet JLT ton contre-exemple - pour lequel je te remercie - correspond à ma formulation (qui se voulait à tort simplifiée)
    C'est pourquoi je mets en pièce jointe la question posée verbatim.

    La question précédente à laquelle il est fait mention stipule qu'un groupe abélien G peut toujours s'injecter dans un groupe divisible D auquel je peux l'identifier.

    Voici une description de sa construction:

    Si $L= \mathbb{Z}^{(G)}$ désigne "le" groupe abélien libre sur $G$ alors $G$ est isomorphe par propriété universelle des groupes libres abéliens à un quotient de L , $ L/K= \mathbb{Z}^{(G)}/K $ mais alors $L/K \hookrightarrow \mathbb{Q}^{(G)}/K = D$ qui est bel et bien divisible, avec la propriété mentionnée dans mon message initial.

    Je souhaite montrer que $D$ est sans torsion pour le munir de sa structure de $\mathbb{Q}- ev$ et pensais naïvement pouvoir transférer cette propriété de $G$ à $D$ par le raisonnement exposé mais c'est là que je coince ...:-S128330
  • Tu as une inclusion $G\subset D$. Soit $T$ le sous-groupe de $D$ formé par les éléments de torsion. La composée $G\to D\to D/T$ est injective et $D/T$ est divisible sans torsion.
  • Merci JLT, c'est une explication claire nette et précise (je m'échinais sur D sans penser une seule seconde à quotienter par Tor(D) qui donne immédiatement un groupe sans torsion et divisible donc doté de la bonne structure d'ev sur $\mathbb{Q}$)
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