C'est quoi "la norme de $f$" ?
Même ce cas simple tu arrives à le rater et tu veux nous faire croire que tu as résolu sans recopier de correction les deux exos sur l'uniforme continuité dans un autre fil...
OS: Dans $\C[X]$ tu prends l'opérateur de différence $\Delta:P\longmapsto P(X+1)-P(X)$ et la norme $N(P)=\sup|a_{k}|$ prend la suite $P_{n}=X^{n}$ et fait des calculs.
Soit l'application linéaire dans $\R[X]$ définie par $f(P)=P(1)$
Je prends $P_n =\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} X^k$ on a $||P_n||_{\infty} =1$ alors que $||f(P_n) ||=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$ et cette série diverge.
Tu te fatigues vraiment pour pas grand chose, mais, oui, si on oublie le fait que tu aurais pu (ou plutôt dû) mettre une valeur absolue autour de $f(P_n)$ et non une norme, c'est correct... mais ce n'est pas un endomorphisme.
D'ailleurs, pour cette application linéaire, tu aurais pu aussi utiliser la suite de polynômes $\displaystyle (\sum_{k=0}^n X^k)_{n\in\N}$, tout simplement.
Pour un endomorphisme, tu pourrais considérer l'endomorphisme de dérivation et la suite $(X^n)_{n\in\N}$.
OShine, une petite question. Que dirais-tu à un étudiant qui écrirait exactement la même chose que toi pour l’endomorphisme de dérivation dans $\R_n[X]$?
Certes les calculs ne changent pas, mais c’est tout ce que tu lui dirais?
Et donc on aurait trouvé une application linéaire en dimension finie non continue?
OShine si tu ne vois pas le problème c'est vraiment la preuve que tu t'attaques à des exercices trop durs pour toi
Il n'y a rien de très compliqué ici mais il faut avoir l'esprit au clair avec l'action (que cherches tu à faire ?), le décor (quel est le contexte ?), etc
Arrête de te prendre la tête avec les maths, sérieusement. T’as un métier stable, t’as des projets(voyages...etc), c’est ce qui compte. Franchement les maths, tu t’en fiches. Profite et laisse tomber ces conneries.
Je ne me moque pas OShine. C’est juste que parfois(souvent), tes réponses me surprennent.
Je te conseille juste de passer à autre chose. lourran te l’a dit, où est le problème?
Je trouve, au contraire, qu'ils sont extrêmement patients de vous aider, Oshine.
Je n'intervenais pas, jusque ici, mais franchement cela commence à bien faire. Et, par pitié, restez loin du Lycée pour l'instant.
Nos lycéens méritent quelqu'un qui comprend quelque chose aux maths.
C'est les vacances, je suis un peu plus patient que d'habitude...
Oshine :
Dans ce que tu as écrit ICI, tu n'as mis aucun quantificateur sur $P$, tu n'as pas dit sur quel ensemble tu définissais ton endomorphisme, et tu n'as mis aucun quantificateur sur $n$.
Pourrais-tu le réécrire en précisant tous ces points ?
Id Est je n'ai aucune envie d'aller au lycée donc ne t'inquiète pas.
Bisam je ne trouve toujours pas le problème.
Soit $f$ l'endomorphisme de $\R[X]$ défini par $ \forall P \in \R[X], \ f(P)=P'$.
On pose $\forall n \in \N, \ \ P_n =X^n$ alors $N_{\infty} (P_n)= 1$.
Or $\forall n \in \N^{*} ,\ f(P_n)=n X^{n-1}$ et $f(P_0)=0$.
Ainsi, $N_{\infty} (f(P_n)) = n \longrightarrow + \infty$.
Et maintenant, qu'est-ce qui change si on fixe un entier $p$ et si l'on considère l'application $f_p$ de $\R_p[X]$ dans lui-même qui à tout polynôme $P$ de $\R_p [X]$ associe $P'$ ?
Dans le cas général si $f:E\to E$ est linéaire et non nulle alors il existe $v\in E$ tel que $f(v)\neq 0$ donc $\|f(v)\|\neq 0$ en notant $\|.\|$ une norme quelconque sur $E$.
À présent il faut utiliser le caractère linéaire de $f$ pour montrer qu'on peut obtenir des vecteurs dont la norme est aussi grande que l'on veut.
Réponses
Si $E=\R$ alors les applications linéaires sont celles de la forme $ f : x \mapsto k x$ avec $k \in \R$.
On a $|f(x)| = |k x|$
La norme de $f$ tend vers plus l'infini en plus l'infini donc $f$ n'est pas borné.
Même ce cas simple tu arrives à le rater et tu veux nous faire croire que tu as résolu sans recopier de correction les deux exos sur l'uniforme continuité dans un autre fil...
@Sol : oui, désolé pour la confusion des termes.
JLapin me rater de quoi ? J'ai donné une solution où est l'erreur ?
Amédé merci !
$N_{\infty}(P_n)=1$
$\Delta(P)=(X+1)^n-X^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k -X^n =\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} X^k$
Le coefficient binomial est maximal quand $k=E(n/2)$.
Donc $N_{\infty} (\Delta (P))= \binom{n}{E(n/2)} \longrightarrow + \infty$
Je prends $P_n =\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} X^k$ on a $||P_n||_{\infty} =1$ alors que $||f(P_n) ||=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$ et cette série diverge.
D'ailleurs, pour cette application linéaire, tu aurais pu aussi utiliser la suite de polynômes $\displaystyle (\sum_{k=0}^n X^k)_{n\in\N}$, tout simplement.
Pour un endomorphisme, tu pourrais considérer l'endomorphisme de dérivation et la suite $(X^n)_{n\in\N}$.
On pose $f(P)=P'$.
On pose $P_n =X^n$ alors $f(P^n)=n X^{n-1}$ et $||f(P_n)||=n \longrightarrow + \infty$
Et donc on aurait trouvé une application linéaire en dimension finie non continue?
Il n'y a rien de très compliqué ici mais il faut avoir l'esprit au clair avec l'action (que cherches tu à faire ?), le décor (quel est le contexte ?), etc
De quoi vous parlez :-S
Arrête de te prendre la tête avec les maths, sérieusement. T’as un métier stable, t’as des projets(voyages...etc), c’est ce qui compte. Franchement les maths, tu t’en fiches. Profite et laisse tomber ces conneries.
Vous avez un recul important sur une notion que je viens de découvrir il y a 1 jour, si je vois pas la nuance pourquoi vous vous moquez de moi ?
Je te conseille juste de passer à autre chose. lourran te l’a dit, où est le problème?
Gardez votre savoir si vous ne voulez pas le partager.
Je n'intervenais pas, jusque ici, mais franchement cela commence à bien faire. Et, par pitié, restez loin du Lycée pour l'instant.
Nos lycéens méritent quelqu'un qui comprend quelque chose aux maths.
De rien.
> La norme de $f(x)$ plutôt.
>
> JLapin me rater de quoi ? J'ai donné une solution
> où est l'erreur ?
En prenant $k=0$, tu viens de démontrer que la fonction nulle n'est pas bornée.
Sais-tu généraliser et démontrer qu'une application linéaire non nulle entre deux espaces vectoriels normés n'est pas bornée ?
Oshine :
Dans ce que tu as écrit ICI, tu n'as mis aucun quantificateur sur $P$, tu n'as pas dit sur quel ensemble tu définissais ton endomorphisme, et tu n'as mis aucun quantificateur sur $n$.
Pourrais-tu le réécrire en précisant tous ces points ?
Bisam je ne trouve toujours pas le problème.
Soit $f$ l'endomorphisme de $\R[X]$ défini par $ \forall P \in \R[X], \ f(P)=P'$.
On pose $\forall n \in \N, \ \ P_n =X^n$ alors $N_{\infty} (P_n)= 1$.
Or $\forall n \in \N^{*} ,\ f(P_n)=n X^{n-1}$ et $f(P_0)=0$.
Ainsi, $N_{\infty} (f(P_n)) = n \longrightarrow + \infty$.
Essaie d'être précis quand tu t'exprimes, c'est toujours bien, y compris quand on essaie de faire des maths.
Ici, tu aurais dû dire : je n'ai plus aucune envie d'aller au lycée donc ne t'inquiètes pas.
Bisam
On se place sur $\R_p [X]$. Soit $f$ un endomorphisme de $\R_p [X]$
Soit $P \in \R_p[X]$. Alors $\exists (a_0, \cdots, a_p) \in \R^{p+1} \ P=\displaystyle\sum_{k=0}^p a_k X^k$
Et donc $f(P)=P'=\displaystyle\sum_{k=1}^p k a_k X^{k-1}$
On a $N_{\infty} (f(P))= \max_{ 1 \leq k \leq p} ( k |a_k| )$
Mais $\forall k \in [|1,p|] \ \ k |a_k| \leq p |a_k|$ donc $\boxed{N_{\infty} (f(P)) \leq p N_{\infty} (P)}$
Donc $f$ est continue.
Bien, il ne te reste plus qu'à résoudre mon petit exercice.
Je ne trouve pas ton exercice. Une indication ?
si oui tu as déjà quasiment répondu ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2321832,2322524#msg-2322524
Dans le cas général si $f:E\to E$ est linéaire et non nulle alors il existe $v\in E$ tel que $f(v)\neq 0$ donc $\|f(v)\|\neq 0$ en notant $\|.\|$ une norme quelconque sur $E$.
À présent il faut utiliser le caractère linéaire de $f$ pour montrer qu'on peut obtenir des vecteurs dont la norme est aussi grande que l'on veut.
Soit $\lambda >0$. On a donc par linéarité de $f$ : $|| f( \lambda v)||= \lambda || f(v) ||$
Ainsi, $\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} || f( \lambda v)|| = || f(v) || \lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \lambda$
Comme $||f(v)|| >0$ on en déduit $\boxed{\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} || f( \lambda v)||= + \infty}$
Donc $f$ n'est pas bornée.