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L'Hôpital dans $\mathbb{R}^2$

Bonjour j'ai juste un doute.
Pour les $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ j'ai L'[large]H[/large]ôpital :
si en $x_0$ j'ai $\lim f'(x)=\alpha$ alors je sais que $f'(x_0)$ existe et vaut $\alpha$.

Mais pour les $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$, les seuls exemples que j'ai sous la main dans mon cours de dérivées partielles non continues en un point malgré la dérivabilité en ce point, sont des fonctions où $f'_x$ n'a carrément pas de limite en ce point, exemples $g(x,y)=(x^3-y^3)/(x^2+y^2)$ ou $f(x,y)=y^2\times\sin(x/y)$ si $y\neq0$ et $f(x,0)=0$.

Ma question est donc : est-ce que, comme avec L'[large]H[/large]ôpital, si les dérivées partielles ont une limite en un point, ça implique que le gradient existe en ce point et a pour coordonnées ces limites ? (et que du coup $f$ y est différentiable).
Merci de vos réponses.
Vincent.

[Guillaume de L'Hôpital (1661-1704) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • Je pense que oui. Tu dois pouvoir simplement obtenir ce résultat grâce à la complétude de ${\mathbb R }$ et l'inégalité des accroissements finis.
  • Attention, on ne suppose pas ici les dérivées partielles continues sur un voisinage du point.
  • Frédéric, je ne comprends pas pourquoi tu précises cela. La page en lien ne fait pas cette hypothèse non plus, si ?
  • Oh si, c'est dans les hypothèses du théorème.

    Cordialement.
  • Mais pas de la proposition !

    Bises
  • Ah, oui, j'avais dû mal lire.
  • Bon,

    je n'ai rien compris à la discussion. Je ne retiens qu'une chose : Dans le théorème "proposition", les hypothèses comportent l'existence des dérivées partielles au voisinage de x et la continuité en x. Et Eloduwen ne supposait pas la continuité des dérivées partielles. Il est vrai qu'il est resté dans le flou sur la propriété qu'il voulait énoncer.

    Cordialement.
  • Bonsoir et merci de vos réponses

    Je ne suppose en effet pas les dérivées partielles continues et je vais du coup tenter de préciser :

    Supposons $f$ une fonction à deux variables réelles définie, disons, partout.

    Supposons que les dérivées partielles aient une limite en $O$ : disons $a$ pour la dérivée selon $x$ et $b$ pour la dérivée selon $y$.

    Je me demande si cela implique que les dérivées partielles en $O$ (calculées "à la main", i.e. avec le taux d'accroissement) existent et soient égales à cette limite, i.e. $\overrightarrow{grad}_f(O)=(a,b)$.
  • Ce qui n'est pas clair c'est de savoir si tu supposes l'existence des dérivées partielles en O (dans ce cas l'existence de limites équivaut simplement à la continuité en ce point).

    Mais de toute façon le résultat reste vrai, avec la même demonstration, dans le cas où on ne suppose que l'existence de limites épointées. Cela dit je reconnais que la preuve en lien n'est pas la plus claire qui soit... Tu ferais sans doute mieux de regarder directement dans ton cours de calcul diff.

    P.S. on doit supposer la fonction continue en O, ou alors exprimer le résultat en termes de prolongement si elle n'est pas définie en ce point.
  • Ben je ne suppose rien en $O$ pour les dérivées partielles justement c'est ma question :
    Si mes dérivées partielles ont une limite en $O$, se peut-il :
    (a) que les dérivées partielles en $O$ n'existent pas (que le taux d'accroissement n'ait pas de limite) ;
    (b) que ces dérivées partielles aient une valeur infinie ;
    (c) que ces dérivées partielles aient une valeur finie autre que la limite trouvée, autrement dit que ces dérivées partielles soient non continues en $O$ ?

    Pour (a) j'ai donné un exemple dans mon premier post et ma question est : (c) est-il possible ?.....

    Je suis désolé je ne sais pas comment le formuler plus clairement....

    Les dérivées partielles peuvent-elles être discontinues en un point, on pourrait poser la question comme cela finalement…

    Et pourquoi veux-tu supposer $f$ continue en $O$, dans $R^2$ on a des fonctions dérivables non continues. Ou alors j'ai mal capté quelque chose que tu voulais dire.

    Je précise aussi que je suppose $f$ définie en $O$ puisque j'ai écrit "$f$ définie, disons, partout"
  • Je pense que ma dernière interprétation était correcte. Pour clarifier la réponse, voici ce qui est vrai :

    Soient $U$ un ouvert de $\R^2$ et $f : U \longrightarrow \R$ une fonction continue en un point $p_0 \in U$. On suppose que $f$ admet des dérivées partielles en tout $p \in U \setminus\{p_0\}$, et qu'il existe des réels $a,b$ tels que :
    \[
    a = \lim_{\substack{p \to p_0\\ p \neq p_0}} \partial_1 f(p),\qquad
    b = \lim_{\substack{p \to p_0\\ p \neq p_0}} \partial_2 f(p).
    \]
    Alors $f$ est différentiable en $p_0$ avec de plus $\partial_1 f(p_0) = a$ et $\partial_2 f(p_0) = b$.


    Comme j'écrivais dans mon message précédent, on doit supposer $f$ continue en $p_0$ car sinon l'énoncé serait faux (les autres hypothèses ne dépendent pas de $f(p_0)$ mais la différentiabilité oui). Cependant cela ne coûte rien puisque la continuité est une condition nécessaire de différentiabilité.
  • Merci beaucoup Sol
    Et si $f$ non continue, a-t-on un contre exemple du coup ?
    Un contre exemple, je précise bien, avec la limite des dérivées partielles qui existe, sinon des contre exemples avec ces limites qui n'existent pas j'en ai (cf mon premier post).
    Bonne journée
    Vincent
  • En dimension $1$ : il suffit de prendre l'indicatrice de $\mathbb{R}^{+}$ pour donner un contre-exemple simple.
    Les limites de la dérivée (à droite et à gauche de $0$) de cette fonction existent (et sont égales) et pourtant, cette fonction n'est pas dérivable en $0$ (ni même continue d'ailleurs).
  • Ah oui effectivement.
    En généralisant ce que tu as écrit, il suffit de prendre n'importe quelle $f$ de classe $C_1$ et de modifier la valeur de $f(O)$ pour avoir ce que je demande…
    Les choses sont parfois tellement simples qu'on ne les voit pas !
    Merci pour ce contre exemple.
    Vincent
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