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Modus ponens et implication

Bonjour.
En me plongeant dans le Lascar et Cori, je me suis posé une question sur le modus ponens.
Si j'ai bien compris, on "pratique" le modus ponens dans la plus part des démonstrations.

Par exemple avec le théorème de Pythagore. Si un triangle est rectangle alors le plus grand côté au carré = somme des deux autres côtés au carré. A vaut pour triangle est rectangle et B pour le plus grand côté au carré = somme des deux autres côtés au carré.

Si on veut montrer ce que l'on appelle "l'égalité de Pythagore" et que l'on se donne un triangle ABC rectangle en A en appliquant le modus ponens à l'implication (th de Pythagore) alors j'en déduit BC²=AB²+AC².

En Mathématique l'implication qu'on utilise dans le modus ponens est tout le temps un théorème. C'est bien cela ?

Cependant, sur certains sites on insinue que le modus ponens et l'implication sont la même chose.
Or c'est faux. En effet, pour démontrer une implication on part de l'hypothèse pour arriver à la conclusion.
Est-ce que je suis passé à côté de quelque chose ?
Merci.

Réponses

  • Quand on prend du recul par rapport aux objets (et qu'on les nomme avec le vocabulaire ensembliste), on peut s'apercevoir qu'il y a:

    1°) Un ensemble $P$ d'objets appelés "phrases".
    2°) Une loi de composition interne (parmi d'autres) de $P$ dans lui-même: $i: P^2 \to P$ appelée "implication".
    3°) Une famille $\left (T_{x} \right)_{x \in P}$ d'ensembles. Les phrases $u$ telles que $T_u$ est non vide s'appellent des "théorèmes".
    4°) Etant donné une phrase $w\in P$, les éléments de $T_w$ s'appellent les "preuves" de $w$.
    5°) Enfin il y a pour tous $x,y$, une application $m_{x,y}$ qui va de $T_{i(x,y)} \times T_x$ dans $T_y$. La famille d'applications $\left (m_{x,y}\right )_{x,y \in P^2}$ s'appelle le "modus ponens".

    Prends bien le temps de digérer les 5 points ci-dessus. Penses-tu qu'une famille indexée par $P^2$ peut être confondue avec une loi de composition interne de $P$, autrement dit une fonction de $P^2$ dans $P$ ?
  • Bonjour Foys et merci pour ta réponse.
    Pour répondre à ta question je dirais non.
    .
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