L'équation $\cos(r\pi)=\sqrt{k+1}-\sqrt k$

Bonjour,
on souhaite montrer qu'il n'existe pas de rationnel $r$ et d'entier $k>0$ tels que $\cos(r \pi)=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$. Je sais le faire de la manière suivante.

Supposons qu'un tel couple $(r, k)$ existe. Notons $n$ le dénominateur dans l'écriture sous forme irréductible de $r$. Si $n=1$ alors $\cos(r\pi)=\pm 1$ et $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \in ]0, 1[$, ce qui est contradictoire. Ainsi, $n \geqslant 2$.
Alors, $\cos(r \pi)$ est racine du polynôme de Tchebychev de second espèce $U_{n-1}\in\mathbb{Z}[X]$. Mais, par ailleurs, on montre facilement que le polynôme minimal $\mu$ de $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ sur $\mathbb{Q}$ est $X^2+2\sqrt{k}X-1$ si $k$ est un carré parfait, $X^2-2\sqrt{k+1}+1$ si $k+1$ est un carré parfait et $X^4-(4k+2)X^2+1$ dans les autres cas. Ainsi, $\mu$ divise $U_{n-1}$, ce qui est absurde car $\sqrt{k+1}+\sqrt{k}>1$ ou $-\sqrt{k+1}-\sqrt{k}<-1$ est racine de $\mu$ alors que les racines de $U_{n-1}$ sont toutes dans $[-1, 1]$.

Cet exercice a été posé à l'oral des Mines en 2003 (source : RMS n°113) et je doute que la méthode précédente soit celle attendue. Auriez-vous une idée de résolution plus en adaquation avec le programme de MP ?
Merci d'avance,
LP