Bonjour,
Soit $E$ un espace vectoriels normé. On définit $f$ un endomorphisme de $E$.
Je ne comprends pas le passage suivant :
Si $u$ n'est pas borné sur $B_f (0,1)$, il existe $(x_n)$ à valeurs dans $B_f (0,1)$ tel que $||u(x_n)|| \longrightarrow + \infty$
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La suite $(u_n)$ n'est pas bornée si et seulement si $\boxed{\forall M>0 \ \ \exists n \in \N \ ||u_n || > M}$
Mais je ne vois pas comment en déduire le passage en rouge.
L'endomorphisme $u$ n'est pas borné sur la boule unité centrée en O si $\boxed{\forall M>0 \ \ \exists x \in B_f(0,1) \ ||u (x) || > M}$
C'est ici que je ne vois pas comment finir pour obtenir le résultat énoncé.
de $B(0,1)$ telle que $||u(x_n)||$ tend vers l'infini.
20100N je n'ai pas compris le rapport avec les sous-suites.
Je prends $M=n \in \N^{*}$ et on obtient $\forall n \in \N^{*} \ \exists x_n \in B_f(0,1) \ \ ||u(x_n)|| >n$
Par passage à la limite et par comparaison on trouve $||u(x_n)|| \longrightarrow + \infty$
Est-ce correct ?
Ensuite je vois $B_f(0,1).$ Ta boule dépend de $f$?
En fait que vient faire f dans l'histoire?
D'ailleurs je me suis trompé c'est $u$ l'endomorphisme.
Si on traduit "symbole par symbole" la phrase logique que tu as écrite pour dire que $u$ n'est pas bornée sur la boule unité fermée, on obtient :
Puisque c'est vrai "pour chaque valeur de $M$", quelles valeurs pourrais-tu choisir pour trouver plusieurs vecteurs $x$ (toute une suite, en fait), dont la norme "exploserait" ?
Le $x$ dépend alors de $n$ et on le note $x_n$. On construit ainsi une suite $(x_n)$ qui vérifie $\forall n \in \N \ x_n \geq n$
Par comparaison, cette suite diverge vers $+\infty$.
Et on passe à la limite sur la norme de $||x_n||$ pour $n$ qui tend vers plus l'infini.
Relis-toi !
On prends $M=n \in \N^{*}$ et on obtient $\forall n \in \N^{*} \ \exists x_n \in B_f(0,1) \ \ ||u(x_n)|| >n$
Par passage à la limite et par comparaison on trouve $||u(x_n)|| \longrightarrow + \infty$
Je ne vois pas où est l'erreur dans ce raisonnement :-S
Il faut chercher un exemple en dimension infinie, par exemple : [à compléter].
Bref exhiber un endomorphisme non borné c'est un exercice intéressant, quitté à chercher des informations dans les livres ou ailleurs
Pour les autres : je sais.
On peut prendre $||f||_{\infty}= \sup_{ t \in [a,b]} |f(t)|$
Pour l'espace des polynômes on a $||P||_{\infty}= \max ( |a_i|)$ où $P(X)= \sum a_i X^i$
Mais j'ai du mal à voir comment trouver un endomorphisme non borné sur la sphère unité :-S
$f(P)= $ je n'arrive pas à calculer $f(P)$ je trouve cette application étrange :-S
J’allais dire à noobey qu’il abuse un petit peu, mais c’est carrément fou!!
Tu lui apprends à creuser un trou avec une pelle bleue.
Tu lui donnes ensuite une pelle rouge et tu lui demandes de creuser un autre trou.
Il ne sait pas, parce qu'il n'a pas compris ce qu'est une pelle.
Cordialement,
Rescassol
Donc $f(P)=Q$ où $Q=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \exp(2021 k^2) X^k$
$f$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$ et après ?
Cordialement
Je prends la norme $N_{\infty} (P)=\max |a_i|$
Si $P$ appartient à la boule unité alors $ |a_i| \leq 1$
Mais $N_{\infty} (f(P))=\max |a_i \exp(2021 i^2)|$
Le problème est que je dois trouver une suite, telle que $||f(x_n)|| \longrightarrow + \infty$ mais dans les polynômes je ne vois pas trop.
Prend la lettre x, la lettre n et fabrique un anagramme de $x_n$.
Le titre du fil me fait penser à la question suivante :
Sais-tu montrer qu'un endomorphisme non nul quelconque d'un evn E est non borné ?
Alors $N_{\infty} (P)=1 \leq 1$ alors que $N_{\infty} (f(P) )= \exp(2021 n^2) \longrightarrow + \infty$ ce qui termine le raisonnement.
JLapin je n'ai pas trop compris ta question.
Actuellement les intelligences artificielles n'ont pas encore la grande capacité d'adaptation que possède le cerveau humain et une IA pourrait tomber dans le piège de l'expérience de Rescassol.
Par conséquent je me pose la question : OShine, es-tu une IA ?
J'avoue être tenté de répondre par l'affirmative, d'autant que des fois OShine tu dis : "je ne comprends pas c'est du chinois pour moi" et justement il se trouve qu'il existe une expérience de pensée nommée "La chambre chinoise" ( cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Chambre_chinoise ) imaginée par le philosophe John Searle qui vise à montrer qu'on peut répondre correctement à une question en chinois sans rien y comprendre, comme une IA quoi...
Ne connais-tu aucun exemple d'application linéaire non continue ?!
(je pensais que JLapin utilisait borné comme "bounded operator")