Continuité uniforme

OShine · October 2021

Rakam ton premier exercice sur les fonctions périodiques et continues sur $\R$ est difficile. Il mérite un sujet à lui tout seul. Il me faudrait 1 heure pour le résoudre.

Homo Topi

Pour moi $f$ est uniformément continu si et seulement si pour tout $\epsilon >0$ , il existe un $\eta >0$ tel que pour tout couple $(x,y) \in A$ si la distance entre $x$ et $y$ est inférieure à $\eta$ alors la distance entre $f(x)$ et $f(y)$ est inférieure à $\varepsilon$

Je ne peux pas faire mieux. Je ne sais pas trop ce que vous attendiez.

Et $f$ est lipschitzienne si les valeurs absolues des pentes des cordes de son graphe constituent un ensemble majoré.

On a $f$ lipschitzienne sur $A$ si et seulement si $\sup \left\{ \dfrac{ |f(x)-f(y)|}{|x-y| } \ \ (x,y) \in A^2 \ \ x \ne y \ \right\} < + \infty $

$f$ n'est pas lipschitzienne si l'ensemble des pentes des cordes du graphe de $f$ n'est pas majoré.

lourrran · October 2021

On a tous des lacunes. Moi je suis nul en chimie. Mais on n'en meurt pas. On est des millions en France à avoir des lacunes en chimie.

Toi tu as des difficultés avec des exercices de niveau lycée, tu es incapable de visualiser une définition et tu t'imagines que tu résoudras un jour des problèmes de maths de niveau supérieur.
Avoir des difficultés avec les maths de niveau lycée, ce n'est pas une tare. Il y a des tas de gens comme ça. Y compris parmi les profs de maths de collège. La majorité des français est comme toi, en difficulté devant un problème de maths de lycée. Ce n'est pas une tare.

Par contre, dans ton cas, s'imaginer que tu sauras un jour résoudre des problèmes de niveau supérieur, ça, c'est une tare.

Tu veux être le seul type au monde incapable de comprendre une définition, mais capable de l'appliquer ???? Tu veux être ce mouton a 35 pattes là ?

Je ne suis peut-être pas doué en chimie, mais j'ai compris un truc : on n'obtient pas de l'or simplement à partir de l'eau.

Errare humanum est. Perseverare diabolicum.

Homo Topi · October 2021

Pour l'instant, ce que tu racontes sur la continuité uniforme est correct. Peux-tu faire un dessin de cette définition de continuité uniforme, et décrire ce qui est important dessus ?

OShine · October 2021

Lourrran je ne vois pas le rapport avec le lycée.

Ces notions d'uniforme continuité et de fonction lipschitzienne sont des notions difficiles.

Homo Topi j'y réfléchis.

lourrran · October 2021

Tu ne vois pas le rapport avec le lycée, et c'est le coeur du problème.
Et pour ce problème là, comme pour les autres, personne ne peut rien faire pour toi.

OShine · October 2021

La continuité uniforme est une notion à des années lumières plus difficile que tout le programme de lycée réuni.

skazeriahm · October 2021

A des années lumières tu exagères... On parle de continuité au lycée non ? même si la définition rigoureuse n'est pas au programme

Donc en soi, la continuité uniforme est presque au programme de lycée, d'autant que l'uniforme continuité est plus agréable que la seule continuité.

bisam · October 2021

Oshine :
Il faut vraiment que tu arrives à te mettre dans la tête que ce qui te parait difficile parce que ce n'est pas enseigné à tel ou tel niveau, c'est totalement subjectif.
Beaucoup de notions de géométrie qui étaient enseignées au lycée, voire au collège, sont désormais ignorées, certes parce que certaines étaient un peu délicates, mais aussi parce que la géométrie ne fait plus vraiment rêver.
Savoir ce qu'est une médiane dans un triangle, savoir que ces médianes sont concourantes, ce n'est pas quelque chose de vraiment difficile... et pourtant ce n'est plus enseigné. La notion de barycentre est même tellement intuitive que des milliers de personnes l'utilisent au quotidien (par exemple les serveurs, qui savent très bien où placer les assiettes et les verres sur un plateau qu'ils portent d'une main pour éviter qu'il ne se renverse).

Certes, la notion d'uniforme continuité ne s'explique pas en 2 mots (quoique) mais si tu ne prends jamais le temps de te l'approprier, elle restera à jamais étrangère... et j'ai l'impression que c'est le cas de nombreuses notions que tu as déjà parcourues (je n'ose dire "étudiées") sans les avoir assimilées, sans te les être appropriées.

On commence à comprendre les maths quand on a compris deux choses :
- Il y a des règles de logique inflexibles, relativement évidentes, qu'il faut respecter à tout prix. Ces règles, presque tout le monde est capable de se rendre compte s'il les enfreint ou non.
- Il y a des définitions plus ou moins compliquées qui permettent d'utiliser des objets pertinents dans certains contextes. Ces définitions deviennent des évidences lorsque l'on a réussi à s'approprier les objets auxquels elles font référence.

Pour l'instant, tu n'es même pas encore au stade où le premier point est une évidence pour toi.
Quant aux définitions, tu les classes en deux catégories : évidentes ou incompréhensibles... Forcément, ça n'avance pas beaucoup !

rakam · October 2021

Pour gerard0
Cela fait longtemps que j'interviens sur les questions de OS.
J'ai même commencé sur l'île des maths où il était ramanujan et sur digischool où il était medhi-128.

Et j'ai probablement tort de revenir mettre mon grain de sel de temps à autre mais les miracles sont toujours possibles.

OShine · October 2021

Bisam
Justement ça fait plusieurs jours que j'essaie de lire des documents sur les fonctions uniformément continues, et lipschitziennes, de voir des vidéos pour bien comprendre la notion graphiquement.
Je ne pense pas avoir compris totalement la notion graphiquement.

Rakam

La fonction arctan est lischitzienne donc uniformément continue.

Soient $(x,y) \in \R^2$ avec $x <y$.

La fonction $x \mapsto \arctan x$ est continue sur $[x,y]$ et dérivable sur $]x,y[$, d'après le théorème des accroissements finis, il existe $c \in ]x,y[$ tel que $|\arctan x - \arctan y| = \dfrac{1}{1+c^2} |x-y| \leq |x-y|$

Mais je ne sais pas généraliser pour toute fonction qui admet des limites finies en $\pm \infty$.

Je pense que c'est faux, il faudrait trouver une fonction en forme de cloche... Mais je ne suis pas sûr de moi :-S

Il me semble que quand on a des pentes de plus en plus abruptes la fonction n'est pas uniformément continue.

bd2017 · October 2021

Os a écrit:

Mais je ne sais pas généraliser pour toute
fonction qui admet des limites finies en $\pm
\infty$.

Je pense que c'est faux, il faudrait trouver une
> fonction en forme de cloche...

Il n'a que les cloches qui résonnent.

En tout cas tu ne cherches pas à faire la démonstration, donc pas de raisonnement, bref que dalle.

Eventuellement si c'était faux, c'est en raisonnant que tu pourras trouver un contre-exemple. Ou alors tu vas voir que c'est vrai.

Pour simplifier, supposons que f est continue sur $\R^+$ et admet une limite $l$ en $+\infty$

Alors .... et puis on commence... f admet une limite l en $\infty$ alors cela veut dire que pour tout $\epsilon>0$ on a...

et on continue, on se fatigue, ... on avance.... et on verra s'il faut une "cloche" ou pas...

lourrran · October 2021

OShine a écrit:

La continuité uniforme est une notion à des années lumières plus difficile que tout le programme de lycée réuni.

Ok, admettons.

Maintenant, imagine que tu croises un lycéen, ce lycéen te demande des conseils.
Ce lycéen, devant une épreuve du concours général, il rend copie blanche, ou quasiment.
Il galère des heures et des heures, aidé par des types brillants.
Pour chaque question, il propose 3 ou 4 réponses totalement fausses, avant de finalement recopier les réponses données par les gens qui le conseillent.

Tu vas dire quoi à ce lycéen ? Quels conseils tu vas lui donner ?
Moi, je lui conseillerais de bien travailler le cours du lycée, D'essayer d'être vraiment au top sur le cours du lycée.
Et le jour où il pourra répondre à la moitié des questions sur une épreuve du concours général, alors, il pourra commencer le cours sur la continuité uniforme.
Si 15 jours après avoir lu et relu et encore relu un corrigé du concours général, le lycéen en question n'est pas capable de refaire tout l'exercice, alors ça ne sert à rien qu'il attaque le cours 'supérieur'.
Voilà le conseil que je donnerais à un lycéen.

Tant qu'il n'est pas totalement à l'aise sur les notions du lycée, ce serait une très mauvaise idée que ce lycéen attaque des leçons qui sont à des années lumière plus difficiles que tout le programme du lycée réuni.

Et toi, tu dirais quoi à un lycéen qui te demanderait des conseils ?

OShine · October 2021

Sauf que je n'ai plus de problème avec les notions de lycée. J'en avais il y a encore 1 an mais plus maintenant. Je pense être devenu solide sur les notions de lycée.

Bd2017
D'accord merci. Ils sont costauds les exercices de Rakam, pas du tout reposants comme exercices ::o
Soit $\varepsilon >0$.

Notons $l = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$

Ainsi, il existe $A>0 \ \forall x \in [a,+\infty[ \ \ x \geq A \implies | f(x)-l|| \leq \varepsilon $

$f$ est continue sur le segment $[0,A]$, d'après le théorème de Heine, elle est uniformément continue sur ce segment et donc :

$\exists \eta >0 \ \ \forall (x,y) \in [0,A]^2 \ \ |x-y| \leq \eta \implies |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon $

Montrons que $f$ est uniformément continue sur $[0,+\infty[$.

Soient $(x,y) \in [0,+\infty[^2$. Supposons $x \leq y$ ce qui est possible par symétrie.

Si $x \leq y \leq A$ alors comme $f$ est uniformément continue sur $[0,A]$ on a $|f(x)-f(y)| \leq \varepsilon \leq 2 \varepsilon $
.Si $A \leq x \leq y$ alors comme $f$ admet une limite finie en $+\infty$ alors $|f(x)-f(y)| \leq |f(x)-l| + |f(y)-l | \leq 2 \varepsilon$
Si $x \leq A \leq y$ alors $|x-A| =A-x$ et $|x-y|=y-x$. Ainsi $|x-A| \leq |x-y| \leq \eta$

Mais $|f(x)-f(y)|= |f(x)- f(A)| + |f(y)-f(A)| \leq \varepsilon + \varepsilon \leq 2 \varepsilon$

On a montré $\boxed{\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \eta >0 \ \ \forall (x,y) \in [0,+\infty]^2 \ \ |x-y| \leq \eta \implies |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon} $

$f$ est uniformément continue sur $[0,+\infty[$

lourrran · October 2021

Sauf que je n'ai plus de problème avec les notions de lycée. J'en avais il y a encore 1 an mais plus maintenant.

Ce qui se traduit par :
Il y a un an, j'essayais de faire des exercices de niveau lycée, et j'échouais. Maintenant, je n'essaie plus de faire des exercices de niveau lycée, et je n'échoue plus.

bd2017 · October 2021

Non @Os l'exercice n'est pas difficile. Tu vois bien que tu y arrives..Et pourtant ici je n'ai pratiquement rien dit. J'ai amorcé le raisonnement, à peine. Ce que tout le monde fait normalement.

En voici encore un autre standard:

Soit f une fonction uniformément continue sur $\R^+$ (je mets $\R^+$ pour simplifier)

Démontrer qu'il existe $a>0,b>0 $ tel que $|f(x)|\leq a |x| + b$ , pour tout $x$.

Encore une fois n'attend pas de l'aide. Tu mets en oeuvre la machine à raisonnner.

sol · October 2021

OShine a écrit:

D'accord merci. Ils sont costauds les exercices de Rakam, pas du tout reposants comme exercices

Ce sont des exercices classiques, non triviaux pour un étudiant qui découvre juste ces notions, mais qui devraient être rapidement maîtrisés par un bon étudiant de première année. Dans ton cas c'est plus dur à juger.

Chalk · October 2021

OShine a écrit:

Sauf que je n'ai plus de problème avec les notions de lycée. J'en avais il y a encore 1 an mais plus maintenant. Je pense être devenu solide sur les notions de lycée.

Si avec ça les forumeurs n'ont pas encore compris qu'OShine était le plus grand troll que ce forum ait connu (et pourtant niveau troll ce forum se démarque déjà très nettement de la moyenne), je ne sais pas ce qu'il vous faut :-D

Mais après tout c'est votre temps que vous perdez, moi j'ai vite suivi les conseils de gerard0.

Homo Topi · October 2021

Chalk : tu as globalement raison, mais des fois, gueuler sur un troll, ça fait du bien, même si ça ne sert à rien d'autre que ça.

OShine · October 2021

$f$ est uniformément continue donc :

$\exists \eta >0 \ \ \forall x,y \in \R^{+} \ \ |x-y| \leq \eta \implies f(x) \leq f(y) + 1$

Bd2017 je n'ai pas réussi l'exercice avec $f(x) \leq a |x| +b$ je n'ai pas trouvé, je ne vois pas comment procéder.

topopot · October 2021

Cet résultat est également utile pour montrer que certaines applications ne sont pas uniformément continues.

lourrran · October 2021

Je sais que tu préfères te planter avec des images abstraites, plutôt que trouver avec des images concrètes.
Donc une partie de la suite du message est en blanc sur fond blanc. Tu n'es pas obligé de lire.

Une fonction est uniformément continue si, partant de n'importe quel point A(x,f(x)), on peut trouver un 'cone' d'angle strictement inférieur à 90°, qui contient la courbe représentative de la fonction.

OShine · October 2021

Lourrran je ne vois pas d'où tu sors ça. Dans les vidéos et cours que j'ai lus, personne n'évoque de cône.

Voici l'explication la plus claire que j'ai vue, cours de Jean Louis Rouget, prof de classe prépa. 128324

OShine · October 2021

Bd2017 j'ai enfin résolu l'exercice, non sans mal.

Pour $\varepsilon =1>0$, l'uniforme continuité de $f$ assure l'existence d'un $\eta >0$ tel que :

$|x-y| \leq \eta \implies |f(x)-f(y)| \leq 1$

Ainsi, $|f(\eta)-f(0)| \leq 1$ puis $|f(2 \eta)- f(\eta)| \leq 1$ etc

Si on pose $\boxed{n=E(x/ \eta)}$ alors $n \leq x / \eta < n+1$ et donc $n \eta \leq x \leq (n+1) \eta$

Ainsi, on a $|f(x) - f(n \eta)| \leq 1$

En sommant et en simplifiant, $| f(x) - f(n \eta) + f(n \eta) - f( (n-1) \eta) + \cdots + f(2 \eta)- f(\eta) +f(\eta)- f(0) |=|f(x)-f(0)| \leq n+1$

Ainsi par l'inégalité triangulaire on trouve $\boxed{|f(x)| -|f(0)| \leq E(x/ \eta) +1 \implies |f(x)| \leq x / \eta + |f(0)| +1}$

D'où $a=\dfrac{1}{\eta}$ et $b=1 + |f(0)|$

lourrran · October 2021

Je sors ce cône de la définition que tu as toi-même donnée ici
Le ratio$\frac {\eta}{\varepsilon}$ (ou l'inverse) permet de définir l'ouverture d'un cône etc etc. Pas besoin de lire plein de bouquins pour voir s'ils utilisent ce mot. Et je suis bien conscient qu'un cône, c'est un mot généralement réservé à un volume 3D, donc un abus de langage. Mais c'est l'image qui me vient en lisant la formule que tu as donnée. Je pourrais parler de secteur angulaire ... mais je préfère la première image que j'ai eu, celle d'un cône.

Et la dernière image que tu as postée confirme ça. A quel endroit la pente est elle la plus forte, et la pente en question sert à déterminer le $\eta$

J'avais la conviction qu'on avait forcément besoin de visualiser ce qu'on manipule, pour avancer.
Et tu confirmes cette conviction. Tu es le premier type que je rencontre qui ne visualise rien du tout, mais qui essaie malgré tout de faire des maths. Et qui n'avance pas du tout.
La conjecture est donc confirmée.

Tu confirmes aussi un autre syndrome de plus en plus dramatique. Aujourd'hui, quand un type cherche, il ne cherche plus avec son cerveau, il cherche avec son Google.
Et là, sur ce point là, je te rassure, tu n'es pas un cas unique à avoir cette maladie.

bd2017 · October 2021

Bonjour
Cela me semble correct. Avoir quelques difficultés pour cet exercice c'est un peu normal.

Remarque Tu peux en déduire sans nouvelle démo que des tas de fonctions ne sont pas u-continues sur $\R.$

P.S En relisant, je me dis tout de même que 3 lignes avant la fin, la majoration par n+1 n'est pas clairement justifiée. Est-ce un pb de rédaction ou alors?

OShine · October 2021

Lourrran ok mais moi j'ai besoin de lire plein de ressources pour comprendre certaines notions.

lourrran · October 2021

$\forall \varepsilon >0, \ \exists \eta >0 ,\ \forall (x,y) \in A^2 ,\quad ||x-y|| \leq \eta \implies ||f(x)-f(y)|| \leq \varepsilon$

Si on décrypte tout ça, on constate qu'il y a des choses qui se jouent sur l'axe des abscisses, et d'autres sur l'axe des ordonnées.

On a $\varepsilon$, qui joue sur l'axe des ordonnées, et $\eta$, sur l'axe des abscisses.
Pour avoir un écart inférieur à $\varepsilon$ sur l'axe des ordonnées, il suffit d'avoir un écart inférieur à $\eta$ sur l'axe des abscisses. Et pour un $\varepsilon$ choisi, on nous dit qu'il y a systématiquement un $\eta$ qui convient.
Quand x varie de moins de $\eta$, f(x) varie de moins de $\varepsilon$
La pente n'est jamais supérieure à $\frac{\varepsilon}{\eta}$
La courbe reste toujours dans un cône de pente $\frac{\varepsilon}{\eta}$

Je ne fais que lire la définition, et, quand même, je fais l'effort de réécrire cette définition.

Riemann_lapins_cretins · October 2021

Moi je lis que si je prends un petit curseur de longueur $\alpha$, et que je le promène sur l'axe des abscisses, alors l'image du petit curseur sur l'axe des ordonnées par $f$ sera plus petite que $\epsilon$ peu importe où on mettra le curseur.

OShine · October 2021

Ah d'accord je visualise mieux avec le curseur aussi qui se déplace sur l'axe des abscisses.

lourrran · October 2021

Oui, pour un $\varepsilon$ (sur l'axe des ordonnées) choisi, il y a un curseur de largeur $\eta$, et ce curseur, on peut le placer n'importe où sur l'axe des abscisses, la propriété reste vraie.
La définition nous dit ça.

Ca y est, on a compris la définition, on peut attaquer les exercices.

Ah zut, on a fait les exercices avant de chercher à comprendre la définition ! On n'est vraiment pas malins.

Riemann_lapins_cretins · October 2021

Dans la même idée, comment on pourrait illustrer la lipschitzianité ?

nicolas.patrois · October 2021

Avec un dessin qui fait pschitz.

OShine · October 2021

Pour les fonctions lipschiptziennes la pente des cordes du graphe ne doit jamais être infinie.

Riemann_lapins_cretins · October 2021

Je t'ai surestimé désolé.

Amathoué · October 2021

Mais comment la pente d’une corde d’une fonction continue pourrait-elle être de toute manière infinie?

OShine · October 2021

C'est ce que j'ai lu sur un cours sur internet.

Pourquoi vous parlez de fonction continue ?

Amathoué · October 2021

Benh parce qu’on parle ici de fonctions en particuliers continues, mais qu’importe.
Dès que tu parles d’une corde d’une courbe d’une fonction à valeurs dans $\R$, on parle d’un nombre fini, point.

OShine · October 2021

J'ai déjà entendu parler de pente infinie dans les cours, je ne comprends pas le problème.

Si l'ensemble des pentes n'est pas majorée, ça signifie quoi ? Qu'on a une pente infinie non ? 128338

Amathoué · October 2021

Depuis quand le sup d’un ensemble fait-il nécessairement partie de cet ensemble?

Riemann_lapins_cretins · October 2021

On rappelle qu'OShine "n'a pas de lacunes sur le niveau lycée".

OShine · October 2021

Je sais que le sup ne fait pas partie forcément de l'ensemble mais quel rapport avec mon problème ?

Je ne comprends pas vos remarques, on dirait que vous me faites des devinettes...

OShine · October 2021

J'ai vu ça ici.

L'ensemble des pentes des cordes n'est pas majoré.

Je n'ai pas trop compris ce passage. L'ensemble des pentes est un ensemble de nombres réel, s'il n'est pas majoré c'est qu'il existe une pente infiniment grande non ? 128342

sol · October 2021

OShine,

L'ensemble des entiers n'est pas majoré. Existe-t-il un entier infiniment grand ?

lourrran · October 2021

RLC : On peut considérer que tu chipotes quand tu refuses la réponse ' la pente des cordes du graphe ne doit jamais être infinie'. Un lycéen pas trop mauvais pourrait faire cette réponse, et on la tolérerait.
OShine : RLC refuse la réponse parce qu'elle manque de rigueur ... et toi, tu t'enfonces, tu sors dans la foulée 2 ou 3 messages encore moins rigoureux. Tu donnes des copies de bouquins, et tu n'es pas foutu de voir la différence entre ce que tu as écrit et ce qui est dans le bouquin.

Riemann_lapins_cretins · October 2021

C'est surtout pour ne pas réaliser la différence entre un max et un sup, ou ne pas comprendre ce qu'implique le fait qu'un sup ne soit pas forcément dans l'ensemble de base, que je parle du lycée.
Je sais qu'il l'a lu et croit le maîtriser. Mais il montre que non. Si ce n'était que le fruit d'une énonciation un peu rapide pour vulgariser sa vision de la notion il aurait su donner une formulation plus rigoureuse depuis trois pages que le problème des fameuses pentes infinies a été soulevé.
Le plus consternant est quand même qu'il lise mon explication de continuité uniforme, la comprenne, et qu'ensuite, lorsque je lui demande d'en DÉDUIRE une interprétation de la lipschitzianité, il me ressort ses pentes infinies.
Je ne suis pas assez philanthrope pour ça.

C'est comme le fait de ne toujours pas comprendre pourquoi on lui parle "en énigmes" au bout de cinquante ans de pillages de forums. Je n'ai honnêtement jamais vu ça, je ne sais pas si ça m'énerve ou si ça me fascine.

nicolas.patrois · October 2021

OShine, tu me montres une corde de pente infinie dans le cas de la fonction racine carrée (c’est ma préférée) ?

OShine · October 2021

Un tangente verticale a une pente infinie non ?

Mais sinon ok j'ai compris, on a bien $\inf \{ 1/n \ n \in \N^{*} \ \} = 0$ alors que $0$ n'appartient pas à l'ensemble.

Nicolas Patrois en $0$ la fonction racine carrée admet une tangente verticale de pente infinie ...