Lieu déduit d'une cubique

Lorsque les intersections ne sont pas visibles, leur milieu est visible. On attend donc que le candidat soulève cette question.

Il y a une façon d'interpréter le sujet pour en faire une question mal posée. Il y a une façon d'interpréter le sujet pour en faire une question bien posée. Par ailleurs, l'objectif du concours est de sélectionner des personnes capables de faire ce qu'il faut dans la situation où ils se trouvent.

C'est exactement la bonne méthode pour ... transformer une question bien posée en un truc indémerdable. Avant de se lancer dans les calculs, il vaut peut être mieux se demander quel est l'objet variable principal, et faire en sorte de plonger le problème dans son corps de rupture.

A moins que j'aie mal compris l'énoncé, j'ai du mal à concevoir comment le résultat puisse être particulièrement simple.

Ta formulation est trompeuse, je trouve. Qu'est-ce que ça veut dire, que les abscisses des milieux des cordes sont "données à peu de choses près par les racines de $x^3-x=x+q$" ?

1) Trouver l'intervalle des valeurs de $q$ pour lesquelles il y a plusieurs intersections : d'accord.

2) A $q$ fixé, on résout donc l'équation $x^3 - x = x +q$. On obtient les abscisses des points d'intersection, et comme on est sur la droite $y=x+q$, on peut calculer les ordonnées. Ensuite, les coordonnées du milieu d'un segment, ça se calcule.

Mais comment veux-tu "éliminer $q$" ? Qu'est-ce que tu appelles "éliminer $q$" ? Nous n'avons peut-être pas le même français.

J'ai littéralement construit les milieux avec les outils de GeoGebra puis activé leur trace.

Bonjour,

L'objectif est de mesurer l'élévation de vue des différents candidats, afin de pouvoir les classer.
Et donc prendre la sécante comme objet variable principal, conduisant à "on résout l'équation $x^3 - x = x +q$" est exactement ce qu'il ne faut pas faire. On se place dans le corps de rupture de l'équation "cubique=sécante" avec l'intention explicite de ne manipuler que des quantités algébriques.

Par conséquent, les objets variables principaux sont un point $P\simeq x:x^3-x:1$ et un point $Q\simeq t:t^3-t:1$. Le milieu est $M\doteq X:Y:1 \simeq (x+t): (x^3+y^3)-(x+t):2$. Comme "prendre le milieu" est un opérateur symétrique, on introduit les "fonctions symétriques": Cela donne $$S\doteq x+t\;;\;P\doteq x\,t \;;\; 2X-S=0 \;;\; 2Y-S^3+3\,P\,S+S=0 $$
Ensuite de quoi, on considère la condition de liaison, symétrique elle aussi. On a: $$

P\wedge Q \simeq -t^{3}+x^{3}+t-x : -x+t : x\left(t^{3}-t\right)-t\left(x^{3}-x\right) \simeq -t^{2}-t\,x-x^{2}+1:1:\left(x+t\right)t\,x$$ La possibilité $x=t$ s'élimine d'elle même et l'égalité des pentes donne la condition cherchée: $$ t^{2}+t\,x+x^{2}-2 = S^2-P-2=0$$ On en déduit $S,P$ puis le lieu cherché: $$Y=-8\,X^3+5\,X$$
On prend un exemple pour taper sur tous les clous qui dépassent. Pour $x=1+i$, on obtient $y(x)=-3+i$ et $t=1-i, y(t)=-3-i$ (par conjugaison, les oraux se déroulent en temps limité). D'où $M(1;-3)$ qui vérifie la propriété annoncée. On a donc une triple réponse.
(1) Les milieux, visibles ou non, des cordes ont pour lieu l'ensemble $\left\{M(x,y)|y=-8\,x^3+5\,x,x\in\C\right\}$
(2) Les milieux visibles, des cordes visibles ou non, ont pour lieu $\left\{M(x,y)|y=-8\,x^3+5\,x,x\in\R\right\}$
(3) les milieux des cordes visibles se placent entre les deux tangentes communes, et le lieu s'arrête aux intersections avec la cubique initiale, i.e. aux points:$$
\left(-\sqrt{6}/3;\sqrt{6}/9\right) \;\;,\;\;\left(\sqrt{6}/3;-\sqrt{6}/9\right) $$

Cordialement, Pierre.

Dreamer : peux-tu détailler comment tu as obtenu ton dessin ? Le mien est visiblement faux...

Ce que moi j'ai fait : j'ai construit la cubique, j'ai construit $y=x$, puis j'ai placé un point libre sur la cubique et construit la parallèle passant par ce point. Ensuite j'ai construit les intersections, les milieux, activé la trace des milieux, et fait bouger le point libre.

Ah oui, j'ai oublié de tracer ça.

Tu utilises les relations coefficients-racines du coup, j'aime bien.

Oui, je n'ai pas tout lu :-D

Bonjour,

voyons voir ce que cela donne avec $x^3+y^3-6xy=0$ et les sécantes de pente $p$.

Cordialement, Pierre.