G/Z(G) isomorphe à Q ?
dans Algèbre
Bonjour
Soit $G$ un groupe et $Z(G)$ son centre.
Existe-t-il un groupe $G$ tel que $G/Z(G) \cong\mathbb{Q}$ ?
Et si on remplace $\mathbb{Q}$ par $\mathbb{R}$ ?
Merci, Michiel.
Soit $G$ un groupe et $Z(G)$ son centre.
Existe-t-il un groupe $G$ tel que $G/Z(G) \cong\mathbb{Q}$ ?
Et si on remplace $\mathbb{Q}$ par $\mathbb{R}$ ?
Merci, Michiel.
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Réponses
Pour la première question, tu peux commencer par te rappeler l'exercice classique qui consiste à montrer que, si un groupe quotienté par son centre est cyclique, alors il est abélien. Le groupe $\mathbb{Q}$ n'est pas très loin d'être cyclique : plus précisément, tous ses sous-groupes de type fini sont cycliques. Tu peux alors essayer d'adapter l'argument.
Pour la deuxième question, remarque que $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^n$ sont des groupes abéliens isomorphes (ce qui se voit classiquement en les interprétant comme deux $\mathbb{Q}$-espaces vectoriels de même dimension (infinie)). Donc tu peux remplacer $\mathbb{R}$ par n'importe quel $\mathbb{R}^n$, disons $\mathbb{R}^2$. Je te suggère de jeter un coup d'œil aux groupes de Heisenberg.
La question générale est: quels groupes peuvent, ou pas, apparaître comme $G/Z(G)$?
Un groupe cyclique: non, sauf {$e$}.
Si on regarde les 5 groupes d'ordre 8 (par exemple):
- $\Z/8$ : non, car cyclique
- $\Z/4\times\Z/2$ : non, pas possible
- $\Z/2\times\Z/2\times\Z/2$ : c'est possible
- $\mathcal D_4$ : c'est possible
- $Q_8$ : pas possible (voir Google)
Cordialement, Michiel
La question en toute généralité, oui, elle est très difficile. Tu peux jeter un coup d'œil à cette discussion sur mathoverflow : Which groups can occur as the quotient of a group by its centre? On y apprend notamment qu'un tel groupe est dit capable. À partir de ça, tu pourras trouver plein de références sur le sujet.
Apparament le problème a été resolu pour les groupes abeliens finis:
https://en.wikipedia.org/wiki/Capable_group
Cordialement, Michiel
Pour ce qui concerne les groupes de type fini, je te recommande l'exercice suivant, (tiré de mon livre: Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes), qui donne une condition nécessaire pour qu'un groupe soit (isomorphe à) un quotient $G/Z(G)$.
Si tu le souhaites, je pourrai donner la correction (p 351).
Alain
Merci! Je te serai reconnaissant si tu peux m'envoyer les corrections.
En ce qui concerne 3i): est-ce nécessaire que le système générateur soit fini?
Cordialement, Michiel
Soit $G$ un groupe de type fini, soit $(\bar a_i,\ 1\leq i\leq k)$ un système générateur de $G/Z(G)$ et soit $\bar b\in\bigcap_{i=1}^k\eng{\bar a_i}$, on a pour tout $i, \bar b=\bar a_i^{t_i}$, pour des $t_i\in\Z$ convenables.
Soit $a_i$ et $b$ des antécédents dans $G$ de respectivement $\bar a_i$ et $\bar b$, on a que $G=\eng{a_1,\ldots,a_k,Z(G)}$.
De $\bar b=\bar a_i^{t_i}$, on tire $b=a_i^{t_i}z_i$, avec $z_i\in Z(G)$. Ainsi, $b$ commute avec tous les $a_i$ et bien sûr avec $Z(G)$, donc $b$ est dans le centre de $G$, donc $\bar b=1$. On obtient donc la condition nécessaire énoncée.
L'intersection des sous-groupes cycliques engendrés par les éléments d'un système générateur de $G/Z(G)$ est triviale.
Il semble que la démonstration reste valable si $G$ n'est pas de type fini.
Si on regarde le groupe des quaternions $\mathbb H_8=\eng{i,j,k\mid i^2=j^2=k^2=ijk=-1}$, $i,j$ et $k$ engendrent $\mathbb H_8$ et $\eng i\cap\eng j\cap\eng k=\{-1,1\}$ non trivial, donc $\mathbb H_8$ ne peut pas être le quotient central d'aucun groupe $G$ de type fini.
Pareillement $\Z/4\Z\times \Z/2\Z$ est engendré par $(1,0)$ et $(1,1)$, tous deux d'ordre $4$. Or, $\eng{(1,0)}\cap\eng{(1,1)}=\eng{(2,0)}$ non trivial.
Les seuls groupes d'ordre $8$ pouvant être des quotients centraux sont donc $(\Z/2\Z)^3$ et $\mathcal D_4$, et ils le sont car $\mathcal D_4\simeq\mathcal D_8/\Z(\mathcal D_8)$, et (mais c'est plus difficile à voir, il faut faire les calculs), si $G=C_4^{\,2}\rtimes_rC_2$, où $C_2$ agit par inversion sur $C_4^{\,2}$, alors $G$ admet un centre d'ordre $4$ et un quotient $G/Z(G)\simeq C_2^{\,3}$.
Je remercie AD qui corrige mes sempiternelles fautes d’orthographes.
Effectivement, ce n'est pas nécessaire que le système générateur de $G/Z(G) $ soit fini.
Ainsi on peut aussi prouver que $\mathbb{Q}$ ne peut pas être isomorphe à $G/Z(G)$ pour un groupe $G$ quelconque.
Soit $n\in\mathbb{N}$. $\mathbb{Q}$ est engendré pas le système générateur infini {$\frac{1}{n}$}.
L’intersection des sous-groupes $\eng{\frac{1}{n}}$ est, je pense, $\mathbb{Z}$ en tout cas cette intersection n'est pas le groupe trivial. Donc $\mathbb{Q}$ ne peut pas être isomorphe à $G/Z(G)$.
Par contre, $\mathbb{R}$ peut apparaître comme $G/Z(G)$. C'est un peu plus compliqué : il faut d'abord montrer que $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ peut apparaître comme $G/Z(G)$ et ensuite que $\mathbb{R}$ est une somme infinie de $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$.
Et si des groupes peuvent apparaître comme $G/Z(G)$, alors aussi les sommes (et produits) - finies ou infinies - de ces groupes.
Cordialement, Michiel
PS: Sais-tu pourquoi j'ai des lignes verticales '|' après chaque formule Latex?
> PS: Sais-tu pourquoi j'ai des lignes verticales '|' après chaque formule Latex?
Bouton de droite - Math Settings - Math Renderer - SVG http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1204455,1209141#msg-1209141
Cordialement,
Rescassol
Et merci Alain, pour la correction de mes fautes d'orthographe. Dans ton dernier message, presque à la fin, tu écris 'et il le sont'. Est-ce-que ça ne doit pas être: 'et ils le sont' ? (:P)
Cordialement, Michiel
Tu as parfaitement raison !
Il est en effet plus difficile de voir les fautes lors de la relecture de ses propres messages qu'à la lecture de ceux des autres !
Merci de me l'avoir signalé, je viens de corriger.
AD