Cours internet erreur ?
Bonsoir
J'ai trouvé un cours en ligne de niveau collège.
J'ai un doute sur les propriétés 3 et 4.
Elles ne sont pas forcément vraies non ?
J'ai trouvé un cours en ligne de niveau collège.
J'ai un doute sur les propriétés 3 et 4.
Elles ne sont pas forcément vraies non ?
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Réponses
Cet extrait ne fait pas exception, tu peux en faire du papier à brouillon.
Sinon, le parallèle "qui peut être démontrée", avec des exemples de la vie courante "qui sont évidemment vraies" laisse songeur.
OShine, tu as un doute sur la 3 et la 4 mais tu n'as pas de doute sur la 5 ? On voit que tu n'es pas brestois. Ah le parisianisme ! :-D
Troll à part, soyons sérieux deux minutes, se tripoter pendant des pages, pour savoir si on va "forcément" allumer le radiateur s'il fait froid, ou si monsieur Lenzen va rester à casa s'il est malade, n'a aucun intérêt mathématique et pédagogique de toute façon. Ne te fais pas de nœuds au cerveau avec ça OShine et ne pars pas là-dessus avec tes élèves, tu vas perde ton temps, c'est vaseux.
Cordialement.
Et bien sûr, on est européen, en Guadeloupe, en Guyane et à Tahiti.
Cordialement,
Rescassol
Crois moi que ça devient très très problématique ...
Pour en remettre une couche, une propriété mathématique devrait, selon moi, parler de mathématiques... Ce qui n'est pas le cas des exemples proposés juste après la définition, ça me semble assez maladroit.
Ceci dit je serais bien en peine de donner une définition à la fois correcte et compréhensible par des collégiens. Heureusement je n'ai pas à le faire et je me contente de tirer sur l'ambulance (:D
(Pas plus que je n'ai eu de définition de ce qu'était un nombre réel par exemple... S'il avait fallu que j'attende d'avoir une définition que je puisse comprendre de ce qu'est un réel, je n'aurais pas fait beaucoup d'analyse au lycée.)
Pour pouvoir demander à des élèves de faire des démonstrations il faut déjà commencer par leur expliquer ce qu'est une démonstration. Si on ne le fait pas alors un élève ne sait pas (ne peut pas savoir) ce qu'il doit expliquer, ce qui ne mérite pas la peine d'être expliqué, ce qui fait partie des hypothèses ou pas...
Combien de fois on m'a dit (en tant qu'élève) de telle propriété qu'elle était évidente et quand j'en demandais une preuve je n'obtenais absolument rien de convainquant. Combien de fois je me suis demandé jusqu'où devait remonter une démonstration. Il m'est aussi arrivé un certain nombre de fois que me soient comptabilisées fausses des démonstrations justes parce que je n'étais pas en phase avec les non-dits de l'enseignant. C'est à nous en tant qu'enseignants d'établir des règles claires et explicites. La semaine avant les vacances un (bon) élève de 4e m'a dit "mais alors pour nous les théorèmes que l'on ne démontre pas, c'est comme des axiomes?" ce qui illustre que c'est à leur portée si on prend la peine et le temps de leur expliquer
Tu fais bien de pointer le nombre réel, c'est le vrai talon d'Achille de tout le secondaire! Je pense qu'il faut se satisfaire par exemple de ne démontrer Thalès que pour les rationnels, et que de vouloir le faire pour les réels relève de la supercherie.
C'est à la portée de certains mais certainement pas de tous (tu as d'ailleurs précisé "bon élève"). Parfois, la démonstration de ce qui peut apparaître comme "évident" n'est pas si simple que cela. La définition donnée dans ce cours en ligne ne me dérange pas vraiment (je trouve en revanche les exemples peu pertinents).
Pour cette histoire de tes démonstrations justes mais déclarées fausses par l'enseignant il faudrait avoir des exemples très concrets pour pouvoir juger.
Je n'ai pas bien saisi cette histoire du talon d'Achille de tout le secondaire avec les réels (ce n'est pas ce qui me frappe en premier si je dois parler de talon d'Achille).
Les lacunes fatales ne manquent pas à commencer par une très pauvre connaissance du français qui s'aggrave année après année. De plus en plus de lycéens ne connaissent même plus le subjonctif et confondent "ait" avec "et" voire "est" (ce qui est fatale dans un exercice de probabilité avec des énoncés comme: la probabilité qu'un malade ait un test positif est 95% par exemple).
> D'après la définition donnée ici les énoncés
> "tout entier naturel est la somme de 4 carrés" ou
> "$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} =
> \frac {\pi^2}{6}$" ne sont pas des propriétés
> mathématiques car pas sous la forme "si ... alors
> ...".
Tu peux reformuler la première en "si $n$ est un entier naturel, alors...."
et la deuxième en "Si $\pi$ désigne le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, alors..."
Un point à la propriété mathématique de ne pas avoir de dimension, est-ce démontrable ?
Bonne continuation.
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Zeitnot : pour le collège je ne sais pas, je ne me sens pas compétent pour émettre un avis éclairé. Ta réponse et celle de soc me paraissent toutes les deux raisonnables. Il n'empêche que la question de savoir ce qu'est une démonstration, une proposition, un théorème, un axiome n'est pas qu'un "abstract nonsense" inventé par des logiciens pour torturer mathématiciens et élèves. Je pense que cela a tout son sens de se demander "c'est quoi une démonstration ?" dès le collège, mais je ne sais pas ce qu'il faudrait répondre aux élèves.
Je plaisantais : je suis d'accord avec toi en fait. Cette contrainte de "condition .... conclusion" est un peu ridicule.
Personne de raisonnable ne penserait que "Si $=$ désigne l'égalité alors $0=0$." est une bonne façon d'énoncer $0=0$, en tout cas je l'espère :-D
Si un élève sait parfaitement ce qu'est une fourchette, sait parfaitement l'utiliser, mais ne sait pas définir formellement le mot fourchette, ça ne me semble pas prioritaire. Et quand bien même on lui donne la définition du mot fourchette, ça ne l'aidera pas, je pense.
Si je caricature, j'attends ensuite avec impatience la définition rigoureuse, de ce qu'est une définition mathématique. Je pense que ça sert à rien, pour autant je trouve important de donner des définitions rigoureuses.
Cordialement.
Au début d'une démonstration on a une certaine quantité de données pouvant être utilisées pour alimenter des calculs ou des théorèmes. Chaque théorème a ses propres conditions pour pouvoir être utilisé, si on veut l'utiliser on doit vérifier qu'elles sont remplies (Si le théorème fonctionne dans tous les cas, tant mieux). Après application d'un théorème on dispose d'un élément pouvant être utilisé pour la suite. On avance étape par étape jusqu'à ce qui nous intéresse.
Voila en résumé ce que je présente à mes élèves et ils comprennent plutôt bien.
Je n'ai pas l'impression que ce que j'écris s'oppose d'une quelconque façon à ce que tu écris. ;-)
@Biely: Pour la définition des réels, je parlais de talon d'Achille dans la structure du cours plus que dans les connaissances des élèves car on s'appuie souvent dessus sans jamais pouvoir les définir correctement.
Pour moi une proposition est un théorème qui est mis en relief dû au choix qui est fait dans un cours d'exposer les choses de telle manière plutôt qu'une autre. Dans un autre choix d'exposition cette proposition pourrait être absente.
On peut considérer que, par deux points distincts du plan passe une unique droite, est une propriété des sous-ensembles à deux points, du plan. Va démontrer ça. :-D
1) les énoncés proposés plus haut :
« Tout entier est somme de … » est un énoncé compris essentiellement par les matheux.
Je pense qu’un bon exercice est de le quantifier.
Ensuite le « si … alors … » arrive facilement : si $n$ est un entier, alors il existe…
« La somme de la série égale à $\pi^2/6$ » est un énoncé sous la forme « si … alors … » même si c’est caché, il me semble, dans la définition de ce nombre $\pi$.
En gros : si on note $\pi$ le nombre $utile-aux-sages$, alors on a l’égalité.
2) définition d’un énoncé/exercice/théorème
Mais c’est une bonne question finalement : tous les théorèmes sont-ils énonçables sous la forme « P => Q » ou est-ce un artifice pédagogique ?
J’ai volontairement écrit « P => Q » au lieu de « Si P, alors Q ». Ça, chacun le conçoit sans problème, me semble-t-il.
J’ai l’impression que l’usage est de faire un « si… alors… » quand l’assertion est quantifiable avec un « quel que soit » (universel dans un certain ensemble).
Par contre, quand c’est « il existe », j’entrevois mal le « si… alors… ».
Remarque :
L’égalité avec $\pi$ ou toute autre limite d’ailleurs se quantifie, quand on déplie les définitions, avec « quel que soit epsilon » mais c’est vraiment imbitable.
Pour ceux qui en doutent encore, (100- epsilon)% des élèves (et pas que) ne font aucune différence entre définition et théorème jusqu'à ce qu'on prenne la peine de leur expliquer, en détail. J'ai plusieurs fois tenté de faire un cours de 3ème sans passer du temps à remettre en place la structure logique, et j'ai toujours fini par caquer car je ne pouvais pas travailler. Ne pas le faire c'est contraindre les élèves à se baser sur leur intuition, ce qui fonctionne uniquement pour une petite part d'entre eux. Les collègues qui refusent de le faire, c'est souvent parce qu'ils ne sont pas à l'aise avec ces notions que l'on utilise en permanence sans jamais les définir et qu'ils ne mesurent pas leur importance. Pour avoir testé les deux, je ne reviendrai pas en arrière la dessus. Dans un établissement vraiment difficile, le cours de logique serait évidemment à reconsidérer, au même titre que tous les autres chapitres que l'on ne peut y enseigner tels quels.
À noter que si $P$ est une proposition alors $(P \vee \neg P) \implies P$ est une proposition équivalente à $P$. On peut donc toujours s'amuser à reformuler un résultat (même un résultat du type $\exists x , ...$) comme une implication.
Tout entier naturel est la somme de 4 carrés peut abréger (selon les conventions que l'on choisit) :
\[
\forall n \in \N, \exists p,q,r,s \in \N , n = p^2+q^2+r^2+s^2
\]
pas d'implication ici me semble-t-il.
L'énoncé "$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}$" peut abréger (selon les conventions que l'on choisit) :
\[
\exists L \in \R, \forall \varepsilon >0, \left(\exists N \in \N, \forall n \geq N, \left|\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}-L\right|<\varepsilon \right) \wedge \left(\exists N \in \N, \forall n \geq N, \left|\frac{1}{6} \left( 4 \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1} \right)^2-L\right|<\varepsilon\right)
\]
pas d'implication ici me semble-t-il.
Pour me faire le perroquet d'autres utilisateurs du forum, une définition n'est qu'une abréviation, rien de plus. On voit d'ailleurs leur intérêt dans les quantifications de mon message précédent, je suis obligé de faire des pirouettes couteuses en symboles latex juste pour parler de $\pi$...
L'encadré du message inaugural dit entre autres qu'en maths il n'y a pas d'énoncés atomiques (ou $\bot$, qui pourrait être considéré comme atomique au fond), c'est un peu ça le problème ici: l'induction sans fond B-).
En effet, c'est donc artificiel (au sens humain) de se forcer à faire du "Si ... alors ...".
Cela dit, au collège, c'est souvent naturel d'avoir des "Si ... alors ..." (géométrie ou petits théorèmes avec du calcul littéral).
Je suis assez d'accord avec toi, Soc.
Distinguer Définition et Théorème n'est pas aisé et ça dure jusqu'au Lycée.
En effet, "c'est quoi a/b ?" par exemple avant de commencer à travailler avec ou encore "c'est quoi -3 ?" avant de commencer... et même "c'est quoi 4 ?"...
Les définitions sont primordiales et pourtant tellement peu connues. Même en L1 il m'arrivait de me lancer dans l'exercice sans connaître les définitions : c'est voué à l'échec.
J'entends bien sûr tous les arguments écrits, mais n'oublions pas qu'un morceau de cours pris hors de ses contextes (ici le reste du cours, ainsi que les explications données en classe devant les élèves qui ont cette feuille sous les yeux) peut amener chacun à faire ses propres interprétations pas toujours justifiées.
Un cours de logique (ou de raisonnement) n'est semble-t-il pas évident à mettre en place, et en effet la confusion par les élèves entre définition, propriétés, propositions et théorèmes (pour ma part, je n'utilise que propriétés, et ponctuellement théorème pour les propriétés plus "importantes" aux yeux des élèves comme le théorème de Pythagore ou Thalès) n'aide pas leur compréhension des notions abordées.
J'ai fait ce choix de tenter cette définition (par ailleurs, la compilation LaTeX de mon cours utilise le package bclogo pour les cadres arrondis, avec un logo personnalisé [donc le cœur] pour indiquer aux élèves que c'est à connaître, mais pas par cœur ; si vous avez d'autres idées de logo qui pourraient mieux représenter ceci, je suis preneur !
Les 5 propriétés (et leur cadre expliqué oralement, par exemple pour la 3 je précise qu'on parle d'une maladie type covid qui oblige à l'isolement) de la "vie courante" permettent juste d'illustrer aux élèves que les propriétés ne sont pas réservées qu'aux seules mathématiques, mais qu'ils seront amenés à en croiser dans d'autres domaines de la vie.
Ce cours d'introduction au raisonnement (cette capture étant incluse dans la séquence du parallélogramme) fonctionne bien jusqu'au moment effectif où les élèves doivent effectuer des démonstrations... mathématiques ! Je vous invite à aller consulter le cours en entier sur https://www.capes-de-maths.com/index.php?page=5eme pour éventuellement me donner vos idées d'amélioration, je suis preneur de toute idée qui serait bénéfique pour mes élèves !
Bonne journée à toutes et tous, et merci à @OShine de l'intérêt porté à mon cours et à tous les autres pour les réponses éclairées.
Martial LENZEN
* "Si j'ai 13 ans, alors je suis mineur".
Sinon, moi aussi, j'aimais bien perdre du temps pour faire un peu de logique au collège. J'en ferais bien aussi au lycée mais je manque tellement de temps !
Je vais supprimer la partie écrite sur le raisonnement du cours. Je maintiendrai l'introduction, mais uniquement orale, en commençant par des propriétés portant sur les inclusions telles que suggérées par @Soc. Ensuite leur proposer un énoncé d'exercice projeté au tableau (du genre un quadrilatère dessiné avec du codage sur les deux diagonales pour le milieu commun, un côté donné : déterminer la mesure du côté opposé) pour voir ce qu'ils proposent (« ça se voit », « on mesure », ...) pour arriver aux axiomes.
À tenter donc !
Qui ici a reçu un tel cours au collège ?
Si vous en avez reçu un, estimez-vous qu'il vous donne accès [à] une dimension des raisonnements mathématiques (niveau collège) qui vous resterait inconnue autrement ?
Si vous n'en avez pas reçu, estimez-vous que cela vous pénalise pour raisonner mathématiquement (niveau collège) ?
Ainsi, plus rien de rien … et pas de support pour raisonner.
Autre exemple : "Je choisis un nombre. Je soustrait ce nombre à son carré, puis j'ajoute 11. Je pense que, quel que soit le nombre que je choisis au départ, j'obtiens forcément un nombre premier à l'arrivée. Qu'en pensez-vous ?" (en arithmétique niveau 5ème, "nombre" c'est "nombre entier naturel non nul").
Pour moi, c'est une situation où l'on rencontre du raisonnement. Et je me vois mal demander du "On sait que..."
Je ne prétends pas à l'exemplarité (illusoire), j'essaie de faire avec. Je ne pense vraiment pas qu'il n'y a plus rien.
Mais bien entendu, personne ne dit qu’il faut exiger cela pour les calculs… ce serait horrible.
Magnéthorax Je n'ai rien pris pour une attaque, mes études s'étant arrêtées à l'époque en licence (L3 actuelle), je ne prétends pas avoir le bagage nécessaire pour créer un cours des plus rigoureux, mais je suis toujours à l'écoute d'un bon conseil de personnes plus douées que moi ou avec plus de connaissances que moi. Il faut aussi savoir reconnaitre ses limites !
Merci donc à tous pour votre aide sur ce sujet qui m'aura bien fait avancer dans l'élaboration de cette séquence, enfin plutôt dans sa modification pour l'an prochain !