Bissectrice et coniques circonscrites
dans Géométrie
Bonsoir à tous,
Soit un triangle $ABC$, un point $P$ mobile sur la $A$-bissectrice intérieure, et les points $A'$, $B'$ et $C'$, symétriques de $P$ par rapport à $BC$, $CA$ et $AB$, respectivement.
D'après les figures ci-dessous, il semble qu'il existe exactement quatre positions particulières de $P$ pour lesquelles la conique passant par les cinq points $B$, $C$, $A'$, $B'$ et $C'$ passe également par A.
Pouvez-vous préciser la nature de ces points (sont-ce des centres répertoriés dans ETC ?) et leurs éventuelles relations (par exemple, forment-ils un quaterne harmonique ?) ?
Merci de votre intérêt !
bien cordialement JLB
Soit un triangle $ABC$, un point $P$ mobile sur la $A$-bissectrice intérieure, et les points $A'$, $B'$ et $C'$, symétriques de $P$ par rapport à $BC$, $CA$ et $AB$, respectivement.
D'après les figures ci-dessous, il semble qu'il existe exactement quatre positions particulières de $P$ pour lesquelles la conique passant par les cinq points $B$, $C$, $A'$, $B'$ et $C'$ passe également par A.
Pouvez-vous préciser la nature de ces points (sont-ce des centres répertoriés dans ETC ?) et leurs éventuelles relations (par exemple, forment-ils un quaterne harmonique ?) ?
Merci de votre intérêt !
bien cordialement JLB
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Réponses
Quelle que soit la position du point $P\ $ dans le plan, les six points $A\ $, $B\ $, $C\ $, $A'\ $, $B'\ $, $C'\ $ sont toujours situés sur une même conique.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Exercice futile n°1
Suivant la position du point $P\ $ dans le plan, discuter le genre de cette conique ( ellipse ou hyperbole).
Exercice futile n°2
Quelles sont les transformations projectives $f\ $ du plan telles que les points $A,B,C,f(A), f(B), f(C)\ $ soient situés sur une même conique?
On utilise des coordonnées barycentriques normalisées et on pose
On rend le problème un peu plus visuel en se demandant quels sont les $k$ tels que la conique $A',B,C,B',C'$ vienne se confondre avec la conique $A,B,C,B',C'$. On constate qu'il y a quatre solutions, mais seulement deux points guduliques. Les calculs confirment, et donnent la relation de liaison: $$kK \left( a-b-c \right) +b+a+c=0$$
Et c'est fini.
Cordialement, Pierre
Je t'ai lu trop vite et j'ai confondu symétrie centrale et symétrie axiale, excuse moi!
J'ai donc abordé un problème différent, lui aussi intéressant où les points $A'\ $, $B'\ $, $C'\ $ sont les symétriques respectifs des points $A\ $, $B\ $, $C\ $ par rapport au point $P.\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Quant à ton problème proprement dit, il me semble plus naturel de rechercher le lieu des points $P\ $ tels que les points $A\ $, $B\ $, $C\ $, $A'\ $, $B'\ $, $C'\ $ soient situés sur une même conique.
C'est un problème pour Rescassol et il ne m'étonnerait pas que la solution soit quelque part sur le site de Bernard Gibert!
On constate que la droite joignant les deux points guduliques passe par
X15071 = Intersect[line(X1, X84), line(X3, X191)]
Sur la figure, les points $P,Q$ sont relatifs au même point gudulique... et donc les deux coniques ont des axes parallèles deux à deux.
Cordialement, Pierre.
Le lieu des points $P$ tels que $A,B,C,A',B',C'$ soient coconiques est une sextique.
Une équation avec Morley circonscrit est $T_6+T_5+T_4+T_3+T_2+T_1=0$ avec: où $zB$ désigne $\overline{z}$, et $s_1,s_2,s_3$ les fonctions symétriques de $a,b,c$.
Cordialement,
Rescassol
En pointillé mauve, les coniques relatives aux points mobiles $D,E \doteq D^*$.
Le passage à l'isogonal ne conserve pas le point gudulique. On a donc un groupe de Klein agissant sur les quatre solutions pour $P\in AI_0$, engendré par le passage à l'isogonal et la transformation $k,K$ décrite précédemment.
Cordialement, Pierre.
J'aurais été bien en peine de trouver ce lieu compliqué !
Pappus, tu es tout excusé, bien entendu !
Pierre, STP, qu'appelles-tu "points guduliques" ?
Bien amicalement JLB
Les bissecteurs d'un angle de deux droites passant par $O$ sont deux droites orthogonales passant par $O$, formant ce que l'on appelle un gudule.
Lorsque l'on a quatre points sur un cercle, il y a trois façons de les apparier pour définir deux droites. Mais les gudules bissecteurs de ces trois paires de droites ont tous la même orientation. Lorsque ces quatre points sont les intersections d'une conique non circulaire et d'un "vrai" cercle, les trois gudules bissecteurs sont dirigés selon les axes de la conique.
Lorsque l'on a une conique circonscrite, on considère évidemment l'intersection avec le circonscrit: la quatrième intersection, en plus des trois sommets, est le fameux point gudulique.
Cordialement, Pierre.
Bien cordialement, JLB