Un lieu géométrique, de Jules Verne ?
Bonjour.$~~~~$ Soit un cercle $\Gamma$ de rayon $R>0$ et de centre $\Omega$, et un cercle $C$ de rayon $r>0$ et de centre $O$, avec la distance $O \Omega>R+r$. Pour tout point $M$ sur le cercle $\Gamma$, soient $A$ et $B$ les points de contact des tangentes au cercle $C$ issues de $M$. La tangente au cercle $\Gamma$ en $M$ et la droite $AB$ se coupent en $P$. Lieu de $P$ lorsque $M$ décrit $\Gamma$ ?$~~~~$ C'est un copain-collègue qui m'a posé ce problème hier. J'ai cherché avec un repère, ce qu'on appelait autrefois la « géométrie analytique », et je trouve une quartique. Je ne maîtrise pas les moyens informatiques tels que Geogebra, alors je ne peux la tracer joliment.
$~~~~$ Par ailleurs, le copain en question m'a affirmé que ce problème viendrait d'un livre de Jules Verne, sans préciser.
Qu'en pensez-vous ?
$~~~~$ Bonne journée.
$~~~~$ Fr. Ch.
$~~~~$ 27/10/2021
$~~~~$ Par ailleurs, le copain en question m'a affirmé que ce problème viendrait d'un livre de Jules Verne, sans préciser.
Qu'en pensez-vous ?
$~~~~$ Bonne journée.
$~~~~$ Fr. Ch.
$~~~~$ 27/10/2021
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Réponses
Un des vingt-mille sans doute. Ci-dessous une figure :
Malheureusement je ne sais pas de quel livre est tiré le problème de Chaurien.
Voici une illustration :
Amicalement
Le calcul tiré de l'Ile Mystérieuse de Jules Verne est une simple application de l'Axiome de Thalès et à ce titre il est encore compréhensible provisoirement par nos agrégatifs actuels.
Le problème de Chaurien est projectif où on peut remplacer sans dommage les cercles par des coniques quelconques.
Les calculs ne sont pas beaucoup plus compliqués!
Mais évidemment plus aucun de nos étudiants n'est capable de le résoudre!
Amicalement
[small]p[/small]appus
terre désaxée
On trouve en allant au sommaire d'autres remarques sur l'astronomie et l'oeuvre de J Verne.
Cordialement
« Paris au XXème siècle », étonnant roman d'anticipation écrit en 1860 par Jules Verne (1828-1905), mais refusé par son éditeur Hetzel, qui le trouvait invraisemblable. On a cru longtemps que le manuscrit avait disparu. Retrouvé par hasard dans un coffre-fort, il a finalement été publié en 1994.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Voilà un calcul de l'équation complexe de la courbe de Chaurien: Le dessin est fait à partir de l'équation et non de l'outil "lieu" de Géogébra, qui confirme.
Cordialement,
Rescassol
Société Générale de Crédit instructionnel
Le 13 août 1960, une partie de la population parisienne se portait aux nombreuses gares du chemin de fer métropolitain, et se dirigeait par les embranchements vers l'ancien emplacement du Champ de Mars.
C'était le jour de la distribution des prix à la Société Générale de Crédit instructionnel, vaste établissement d'éducation publique. Son Excellence, le ministre des Embellissements de Paris, devait présider cette solennité.
(...............................)
La question de hautes mathématiques posée au grand concours était celle-ci : « On donne deux circonférences OO' : d'un point A pris sur O, on mène des tangentes à O' ; on joint les points de contact de ces tangentes : on mène la tangente en A à la circonférence O ; on demande le lieu du point d'intersection de cette tangente avec la corde des contacts dans la circonférence 0'. »
Chacun comprenait l'importance d'un pareil théorème. On savait comment il avait été résolu d'après une méthode nouvelle par l'élève Gigoujeu (François Némorin) de Briançon (Hautes Alpes). Les bravos redoublèrent à l'appel de ce nom ; il fut prononcé soixante-quatorze fois pendant cette mémorable journée : on cassait les banquettes en l'honneur du lauréat, ce qui, même en 1960, n'était encore qu'une métaphore destinée à peindre les fureurs de l'enthousiasme.
Gigoujeu (François Némorin) gagna dans cette circonstance une bibliothèque de trois mille volumes. La Société de Crédit instructionnel faisait bien les choses.
Nous ne pouvons citer la nomenclature infinie des Sciences qui s'apprenaient dans cette caserne de l'instruction : un palmarès du temps eût fort surpris les arrière-grands-pères de ces jeunes savants.
C'est un roman étrange, et on ne s'étonne pas qu'il ait choqué l'éditeur Hetzel. Au chapitre XII, un personnage déplore l'évolution de la gent féminine dans cette société technicienne : « l'ange de la géométrie, si prodigue autrefois de ses courbes les plus attrayantes, livra la femme à toute la rigueur de la ligne droite et des angles aigus ». À croire qu'il a eu une vision prémonitoire d'Alice Coffin (:D.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
$\bullet $ On munit le plan d'un repère d'axes orthonormés $(Ox,Oy)$. Soit le cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $r$. Soit un point $M$ extérieur au cercle $C$, et soient $(u,v) $ les coordonnées de $M$ dans le repère $(Ox,Oy)$. Soient $A$ et $B$ les points de contact des tangentes au cercle $C$ issues de $M$. L'équation de la droite $AB$ est : $ux+vy-r^2=0$.
$\bullet $ Soit $\Omega$ le point de coordonnées $(c,0)$, avec $c>R+r$, et soit le cercle $\Gamma$ de rayon $R>0$ et de centre $\Omega$. Le point $M$ courant sur le cercle $\Gamma$ a pour coordonnées $(c+R \cos \theta, R \sin \theta)$, $\theta \in \mathbb R$. Soient $A$ et $B$ les points de contact des tangentes au cercle $C$ issues de $M$. L'équation de la droite $AB$ est : $(c+R \cos \theta)x+R y\sin \theta-r^2=0$.
$\bullet $ La tangente au cercle $\Gamma$ en $M$ est l'ensemble des points $P$ tels que : $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{\Omega M}=0$, et l'équation de cette tangente est donc : $x \cos \theta+y \sin \theta -(R+c \cos \theta)=0$.
$\bullet $ On résout le simple système $2 \times 2$ aux inconnues $x,y$ :
$(c+R \cos \theta)x+R y\sin \theta=r^2$, $x \cos \theta+y \sin \theta =R+c \cos \theta$.
On obtient ainsi une équation paramétrique du lieu cherché, et en éliminant le paramètre $\theta$, on obtient l'équation d 'une quartique.
C'est sans grande originalité, mais ça aboutit.
Bonne nuit.
Fr. Ch.