Groupe isomorphe à R/Z
Bonjour
Je bute sur l'affirmation suivante: $\mathbb{R/Z}$ est isomorphe à $\mathbb{R} \times \mathbb{Q/Z}$
Voici ce que je sais faire.
$\mathbb{Q/Z}$ est égal à $Tor(\mathbb{R/Z})$ et c'est un sous-groupe divisible de $\mathbb{R/Z}$ donc il existe un sous-groupe $H$ de $\mathbb{R/Z}$ (nécessairement équipotent à $\mathbb{R}$) tel que $\mathbb{R/Z}= H \oplus \mathbb{Q/Z}$
Voilà ce que je ne sais pas faire. Démontrer que $H$ est un groupe isomorphe à $\mathbb{R}$.
Via les identifications de circonstance je pense que l'on peut ici indifféremment parler de somme directe ou de produit cartésien de sous-groupes de $\mathbb{R/Z}$.
Je ne vois pas ce qui, dans l'ouvrage "Algèbre le grand combat" - dont l'exercice est extrait - ou bien le livre de Rotman consacré aux groupes (et dont le premier semble fréquemment s'inspirer) me permettrait de conclure ...
Merci pour votre aide
Je bute sur l'affirmation suivante: $\mathbb{R/Z}$ est isomorphe à $\mathbb{R} \times \mathbb{Q/Z}$
Voici ce que je sais faire.
$\mathbb{Q/Z}$ est égal à $Tor(\mathbb{R/Z})$ et c'est un sous-groupe divisible de $\mathbb{R/Z}$ donc il existe un sous-groupe $H$ de $\mathbb{R/Z}$ (nécessairement équipotent à $\mathbb{R}$) tel que $\mathbb{R/Z}= H \oplus \mathbb{Q/Z}$
Voilà ce que je ne sais pas faire. Démontrer que $H$ est un groupe isomorphe à $\mathbb{R}$.
Via les identifications de circonstance je pense que l'on peut ici indifféremment parler de somme directe ou de produit cartésien de sous-groupes de $\mathbb{R/Z}$.
Je ne vois pas ce qui, dans l'ouvrage "Algèbre le grand combat" - dont l'exercice est extrait - ou bien le livre de Rotman consacré aux groupes (et dont le premier semble fréquemment s'inspirer) me permettrait de conclure ...
Merci pour votre aide
Réponses
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$H$ est isomorphe à $\mathbb R/\mathbb Z$ modulo sa torsion, donc il est divisible et sans torsion.
Quid de son cardinal ? Etc. -
Je ne connais pas les programmes post-bac mais la notion de « groupe sans torsion » n’est pas très répandue, sauf erreur.
Cher Maxtimax, peux-tu rester L2-compatible ?
Amicalement, bien entendu.
Dom -
Dom : ludo utilise dans son post la notion de torsion, donc je répondais en utilisant des termes qu'il connait certainement ;-)
Mais à tout hasard : un groupe est sans torsion si (je note additivement mais on peut le définir pour des groupes non abéliens) pour tout $x$ et tout entier $n$ non nul, $nx =0 \implies x = 0$ -
Mea Culpa, j'ai lu sans lire le symbole $Tor$. Mille excuses.
-
Merci pour vos réponses, j'ai suivi les indications de Maxtimax et effectivement cela fonctionne
-
Je pense tout de même que passez par les ${\mathbb Q }$-espaces vectoriels simplifie bien le problème.
-
Frédéric : je suis quasi-sûr que c'est ce que ludo a fait ;-)
-
Exactement (tu)
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Bonjour!
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