Groupe isomorphe à R/Z
Bonjour
Je bute sur l'affirmation suivante: $\mathbb{R/Z}$ est isomorphe à $\mathbb{R} \times \mathbb{Q/Z}$
Voici ce que je sais faire.
$\mathbb{Q/Z}$ est égal à $Tor(\mathbb{R/Z})$ et c'est un sous-groupe divisible de $\mathbb{R/Z}$ donc il existe un sous-groupe $H$ de $\mathbb{R/Z}$ (nécessairement équipotent à $\mathbb{R}$) tel que $\mathbb{R/Z}= H \oplus \mathbb{Q/Z}$
Voilà ce que je ne sais pas faire. Démontrer que $H$ est un groupe isomorphe à $\mathbb{R}$.
Via les identifications de circonstance je pense que l'on peut ici indifféremment parler de somme directe ou de produit cartésien de sous-groupes de $\mathbb{R/Z}$.
Je ne vois pas ce qui, dans l'ouvrage "Algèbre le grand combat" - dont l'exercice est extrait - ou bien le livre de Rotman consacré aux groupes (et dont le premier semble fréquemment s'inspirer) me permettrait de conclure ...
Merci pour votre aide
Je bute sur l'affirmation suivante: $\mathbb{R/Z}$ est isomorphe à $\mathbb{R} \times \mathbb{Q/Z}$
Voici ce que je sais faire.
$\mathbb{Q/Z}$ est égal à $Tor(\mathbb{R/Z})$ et c'est un sous-groupe divisible de $\mathbb{R/Z}$ donc il existe un sous-groupe $H$ de $\mathbb{R/Z}$ (nécessairement équipotent à $\mathbb{R}$) tel que $\mathbb{R/Z}= H \oplus \mathbb{Q/Z}$
Voilà ce que je ne sais pas faire. Démontrer que $H$ est un groupe isomorphe à $\mathbb{R}$.
Via les identifications de circonstance je pense que l'on peut ici indifféremment parler de somme directe ou de produit cartésien de sous-groupes de $\mathbb{R/Z}$.
Je ne vois pas ce qui, dans l'ouvrage "Algèbre le grand combat" - dont l'exercice est extrait - ou bien le livre de Rotman consacré aux groupes (et dont le premier semble fréquemment s'inspirer) me permettrait de conclure ...
Merci pour votre aide
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Réponses
Quid de son cardinal ? Etc.
Cher Maxtimax, peux-tu rester L2-compatible ?
Amicalement, bien entendu.
Dom
Mais à tout hasard : un groupe est sans torsion si (je note additivement mais on peut le définir pour des groupes non abéliens) pour tout $x$ et tout entier $n$ non nul, $nx =0 \implies x = 0$