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Exercice original sur les fractions

Piteux_gorePiteux_gore
dans Arithmétique
Bonjour

Une fraction irréductible a un développement périodique de la forme $n + 0,xyyy...$
Quels sont les dénominateurs possibles pour cette fraction ?

A+
Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)

Réponses

  • gai requingai requin
    Tout diviseur de $90$.
  • Math CossMath Coss
    Doit-on comprendre, comme semble le faire gai requin, que $x$ et $y$ sont des chiffres ?
  • Piteux_gorePiteux_gore
    RE

    Tout diviseur de $90$ contenant $2$ et/ou $5$, plus d'autres facteurs :
    $6, 15, 18, 30, 45, 90$.
    La présence d'autres facteurs que $2, 5$ est indispensable pour qu'il y ait période ; la présence de $2$ ou $5$ est indispensable pour que la période ne commence pas juste après la virgule (fraction périodique mixte).

    Oral de Saint-Cyr 1880...

    A+
    Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
  • DomDom
    J’ai compris cela, Math Coss.
    Même si le doute persistait : $x$ pourrait être une suite de chiffres et $y$ également.
    Mais dans ce cas, c’est moins restrictif.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Rien ne dit que $x\ne y$.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • DomDom
    (:D
    Oui, Nicolas…
    Bon, bref…
  • ADAD
    Tant qu'à pinailler, il n'est pas précisé que $n$ est un entier ! :-D
    AD
  • gai requingai requin
    @Pyteux_gore : Qu'obtient-on dans le cas $n=0$, $x=4$, $y=9$ ?
  • Piteux_gorePiteux_gore
    RE

    Il me semble que les hypothèses excluent le cas $y = 9$.

    A+
    Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
  • solandsoland
    Soit $z:=0.xyyy...$. On a

    $z=(x+y(0.111...)/10=(x+y/9)/10$

    $=(9x+y)/90$

    ETC.
  • Piteux_gorePiteux_gore
    RE

    Même question pour $p/q = N + 0,abyyy...$ avec $0 \leq a, b \leq 9, 1 \leq y \leq 8$.

    A+
    Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
  • Piteux_gorePiteux_gore
    RE

    Sauf erreur de ma part, $10$ des $27$ diviseurs de $900$ conviennent.

    A+
    Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
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