Prolongement par continuité

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Réponses

  • OShine
    OShine
    Gai Requin joli B-)-

    Ta preuve est plus succincte et plus claire que celle de mon livre.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    La preuve de gai requin est celle que tout le monde ici aurait écrite. Mais bon, tu t'obstines à ne vouloir utiliser que ton unique bouquin, qu'on a tous déjà critiqués plusieurs fois...
  • JLapin
    JLapin
    On critique surtout sa "non démarche" d'apprentissage des maths, non ?
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Son bouquin mal foutu, et son obstination à ne surtout pas se procurer un seul autre bouquin, en font partie. Tu es un arrivé "récent", je t'assure qu'on lui a tous déjà dit que son bouquin était pourri.
  • JLapin
    JLapin
    Bof
    J'ai plutôt l'impression qu'il n'y a aucun bouquin du supérieur qui lui conviendrait...
  • OShine
    OShine
    C'est le seul bouquin que j'arrive à comprendre niveau cours, donc je ne vais pas le jeter et acheter un livre de Mr Rombaldi où je ne vais rien comprendre juste les notations me perdent.

    Bref, la preuve du livre est lourde et longue mais elle est très claire et compréhensible. Il faut maitriser la caractérisation séquentielle de la limite, et le cours sur les limites de sup.

    Par hypothèse, $f$ possède une limite finie en tout point de $A \backslash X$. Comme de plus $f$ est continue sur $X$, $f$ possède en tout $x \in X$ une limite égale à $f(x)$.

    Soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $x$. Montrons $\tilde{f}(x_n) \longrightarrow \tilde{f}(x)$

    Tout d'abord justifions l'existence d'une suite $(y_n)$ d'éléments de $X$ vérifiant $\forall n \in \N \ ||y_n -x_n || \leq \dfrac{1}{n+1}$ et $||\tilde{f}(y_n)-\tilde{f}(x_n)|| \leq \dfrac{1}{n+1}$

    Soit $n \in \N$. Comme $X$ est dense dans $A$, on peut considérer une suite $(z_p)_{p \in \N}$ d'éléments de $X$ tendant vers $x_n$. Comme $\tilde{f}(x_n)= \lim_{x_n} (f)$ on a $\lim\limits_{p \rightarrow +\infty} f(z_p)=\tilde{f}(x_n)$

    Mais $f$ et $\tilde{f}$ coïncident sur $X$ donc $\lim\limits_{p \rightarrow +\infty} \tilde{f}(z_p)=\tilde{f}(x_n)$

    Les limites $\lim\limits_{p \rightarrow +\infty} z_p= x_n$ et $\lim\limits_{p \rightarrow +\infty} \tilde{f}(z_p)=\tilde{f}(x_n)$ assurent l'existence d'un rang $p_0 \in \N$ tel que pour tout $p \geq p_0$ on a :

    $||z_p -x_n || \leq \dfrac{1}{n+1}$ et $||\tilde{f}(z_p-\tilde{f}(x_n)|| \leq \dfrac{1}{n+1}$. Il suffit de choisir un $p \geq p_0$ et de fixer $y_n =z_p$.

    Comme $x_n \longrightarrow x$, la propriété $\forall n \in \N \ ||y_n -x_n || \leq \dfrac{1}{n+1}$ assure que la suite $(y_n)$ tend également vers $x$. Par définition de $\tilde{f}$, on a $f(y_n) \longrightarrow \tilde{f} (x)$.

    De plus, comme $(y_n)$ est à valeurs dans $X$ et que $f$ et $\tilde{f}$ coïncident sur $X$, les suites $(f(y_n))$ et $(\tilde{f}(y_n))$ sont égales. On a donc $\tilde{f} (y_n) \longrightarrow \tilde{f}(x)$.

    Enfin la propriété $||\tilde{f}(y_n)-\tilde{f}(x_n)|| \leq \dfrac{1}{n+1}$ assure que la suite $(\tilde{f}(x_n))$ converge vers $(\tilde{f}(x))$ ce qui est le résultat souhaité.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je ne vois pas trop quelles notations seraient différentes d'un livre à l'autre. La plupart sont standard, exprès.

    Mais tu as décidé que ce livre allait et devait suffire à faire de toi un bon matheux. Donc tu feras comme tu as décidé. On voit tous le résultat de ça, mais, fais comme tu veux.
  • Alexique
    Alexique
    @OS : un truc que je ne comprends pas dans ce message de gai requin :
    il prétend que de $||x-a||<\delta$, il en déduit $||x_n-a||<\delta$. Or, on a $||x_n-a||=||x_n-x+x-a||\leq ||x-a||+||x_n-x||<\delta+||x_n-x||$ mais donc mon inégalité est déjà trop grossière. Comment a-t-il fait ?

    Si tu as compris sa démo, ce que tu prétends, tu dois pouvoir m'expliquer cela. Sinon, c'est que comme d'habitude, tu dis avoir compris alors que pas du tout.
  • rakam
    rakam
    Supplément pour OShine
    Soit $X \subset A$ dense dans $A$ et $f : X \longrightarrow F$ une application continue en tout point de $X$.
    On suppose que pour toute suite $n\mapsto x_n\in X$ la suite image $n\mapsto f(x_n)$ est convergente dans $F$.

    Montrer que $f$ admet un prolongement $\tilde{f} : A \longrightarrow F$ continu en tout point de $A$.
  • OShine
    OShine
    Alexique $||x_n-x||$ tend vers $0$ il suffit de passer à la limite dans l'inégalité.

    Pour $n$ assez grand $||x_n -a|| < \delta$

    @Rakam
    Par caractérisation séquentielle, comme $X$ est dense dans $A$, pour tout $a \in A$ il existe une suite $(y_n)$ d'éléments de $X$ qui converge vers $a$.

    On a donc $y_n \longrightarrow a$.

    Mais comme $y_n \in X$ pour tout $n \in \N$ alors $f(y_n) \longrightarrow \ell$ car $n\mapsto f(x_n)$ est convergente dans $F$.

    Par caractérisation séquentielle, on a montré $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =\ell \in F}$

    On pose $\boxed{\forall a \in A \ \tilde{f} (a)=\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =\ell \in F}$

    C'est terminé non ?
  • Alexique
    Alexique
    @OS : Ok, merci pour la pépite qui confirme que tu comprends rien quand tu dis comprendre les choses. C'est embêtant parce que ça veut dire que même quand tu crois avoir raison, tu as tort, c'est encore plus gênant que de ne pas savoir faire un raisonnement.

    Si tu veux y réfléchir, deux choses :
    - conservation des inégalités LARGES par passage à la limite
    - gai requin fixe un rang $n$ donc pas d'histoire de "ça tend vers 0 donc je peux remplacer par 0", ce que tu dis n'a aucun sens.
  • Zgrb
    Zgrb
    Aïe...
  • Amathoué
    Amathoué
    Ça fait mal, t’es pas sympa Alexique
  • OShine
    OShine
    Alexique j'ai lu trop vite, en effet, je ne comprends pas ce passage.
  • rakam
    rakam
    C'est faux OS : la limite de ta suite $n\mapsto f(y_n)$ dépend de la suite choisie...
  • OShine
    OShine
    Rakam d'accord merci.

    On prolonge $f$ en $\tilde{f} : A \longrightarrow F \\ \ \ \ x \mapsto \lim_x f$ c'est un bien prolongement car $f$ est continue sur $X$ et la limite vaut $f(x)$ et sur $A \backslash X$, la densité de $X$ dans $A$ assure que la limite $\lim_{ a \in A} f$ existe et est finie.

    Le reste est identique avec l'exercice précédent non ?

    On prend une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ et on montre que $\tilde{f}(x_n) \longrightarrow \tilde{f} (x)$...
  • rakam
    rakam
    Je te répète que tu ne sais rien de l'existence d'une limite de $f$ en $a\in A\setminus X$.
    Mais il est exact que si tu démontres cette existence l'exercice précédent permet de conclure.

    Plus précisément, si $x : n\mapsto x_n$ et $y: n\mapsto y_n$ sont des suites à valeurs dans $X$ tout ce que tu sais c'est que les suites $n\mapsto f(x_n),\;n\mapsto f(y_n)$ sont convergentes.
  • OShine
    OShine
    Je n'ai pas trouvé ton exercice Rakam.
  • rakam
    rakam
    C'est pourtant simple !
    Il suffit de prouver que si $x,y$ sont des suites de $X^{\N}$ de limite $a\in A$ alors les suites $f_\circ x$ et $f_\circ y$ ont même limite dans $F$.
    Sans faire intervenir la norme de la différence (ce serait très pénible et inutile) tu peux chercher une condition pour que deux suites aient même limite.
    Je te dis d'avance que tu connais (et que tu l'as déjà utilisée) une telle situation.
  • OShine
    OShine
    Si $(x_n)$ et $(y_n)$ sont deux suites d'éléments de $X$ qui convergent vers $a$ alors $f(x_n) \longrightarrow f(a)$ et $f(y_n) \longrightarrow f(a)$ car $f$ est continue sur $X$.

    Ainsi, par densité de $X$ dans $A$, $\forall a \in A \ \ \lim_a f(x)=f(a)$
  • rakam
    rakam
    Tu le fais exprès !
    Ton $f(a)$ n'a aucune existence à cet instant puisqu'on peut avoir $a\in A\setminus X$.

    La clé se trouve dans
    Pour toute suite de $X^{\N}$ la suite image par $f$ est convergente et tu peux tout faire juste avec cette phrase sans aucune connaissance des propriétés de $f$ qui, pour le moment, n'est définie que sur $X$.
  • OShine
    OShine
    Je ne vois pas comment procéder.
  • rakam
    rakam
    Bon je vends la mèche !
    Si $x,y$ sont des suites de $X^{\N}$ de limite $a$ on considère une suite $z$ telle que
    $\forall n\in\N,\;z_{2n}=x_n,\;z_{2n+1}=y_n$.
    Alors $z$ est aussi convergente vers $a$ ( mais tu dois dire pourquoi) et à valeurs dans $X$
    Ensuite les suites $n\mapsto f(x_n),\;n\mapsto f(y_n)$ sont des suites extraites de la suite convergente $n\mapsto f(z_n)$.
  • OShine
    OShine
    D'accord merci je n'y aurais jamais pensé.

    Si les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers une même limite alors la suite $(u_n)$ converge vers cette même limite. C'est une propriété de cours de L1.
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