Définition point adhérent à une partie de R^n

Ilexiste · October 2021

Bonjour
Je lis une définition d'un point adhérent.

Soit $A$ une partie de $R{^n}$. On dit qu’un point $x$ est adhérent à $A$ si et seulement si toute boule ouverte de centre $x$ rencontre $A$. L’ensemble des points adhérents à $A$ s’appelle l’adhérence de $A$ et est noté $\overline A$.

Je ne comprends pas ce que "rencontre A" signifie mathématiquement.
Quelqu'un peut-il m'expliquer s'il vous plaît ?
Merci.

gai requin · October 2021

$x\in\overline A\Leftrightarrow\forall r>0,\ \exists y\in A,\quad y\in B(x,r)$.

Dom · October 2021

Dire « rencontre » signifie « a une intersection non vide » il me semble.

Ilexiste · October 2021

Je crois que je ne parviens pas à comprendre si x est dans A ou dans le complémentaire de A.

ChristopheC · October 2021

Bonjour,

Tu peux avoir les deux cas de figure. Par exemple, si $A=[0,1[$ et $x=1$, alors $x \notin A$, et si $A=[0,1]$ et $x=1$, alors $x \in A$.
Cordialement

Ilexiste · October 2021

Merci à vous,
Ce n'est pas encore limpide pour moi.

Si je veux dire que x n'est pas un point adhérent de A, je prends la négation de ce qu'a écrit gai requin, c'est ça ?

$x\notin\overline A\Leftrightarrow\exists
r>0,\ \forall y\in A,\quad y\notin B(x,r)$.

Dom · October 2021

Oui, ça dit « il existe une boule ouverte centrée en $x$ qui ne contient aucun élément de $A$ ».

En terme de suite (dans un métrique) :
on ne peut pas s’approcher de $x$ d’aussi près que l’on souhaite avec des éléments de $A$ (car on est au moins à une distance de ce $r$).