Colimites préservées par les isom. naturels

Maru · October 2021

Bonjour
Je considère le résultat suivant.

Soient $F$ et $G$ deux foncteurs d'une petite catégorie $I$ vers une catégorie $C$.
Supposons que $F$ et $G$ admettent chacun une colimite (respectivement ($c,f$) et ($d,g$),
avec $c$ et $d$ des objets de $C$, et $f$ et $g$ des transformations naturelles).
Si $F$ et $G$ sont naturellement isomorphes, alors $c$ et $d$ sont isomorphes dans $C$.

Je me pose 2 questions autour de ce résultat.
1) L'hypothèse d'isomorphisme naturel peut-elle être affaiblie ?
2) Peut-on démontrer un lien entre $f$ et $g$ ?
(par exemple un isomorphisme dans une catégorie de transformations naturelles ? (et qu'est-ce que ça voudrait dire ?))
Merci de votre aide.

Maxtimax · October 2021

1) Dans certains cas spécifiques, oui, mais pas en général. Il faut vraiment avoir des informations particulières pour pouvoir affaiblir cette hypothèse.

2) Oui, tout à fait : l'énoncé plus précis est "il existe un unique morphisme $c\to d$ qui fait commuter le diagramme $$\xymatrix{F \ar[r]^-f \ar[d] & \Delta(c) \ar@{.>}[d] \\ G \ar[r]^-g & \Delta(d)}$$
Où $F\to G$ est l'isomorphisme naturel que tu t'es fixé, et ce morphisme est un isomorphisme"

(J'ai noté $\Delta(c)$ le diagramme constant de valeur $c$, c'esf $\Delta$ comme "diagonal")

Maru · October 2021

Merci beaucoup pour ta réponse.
L'énoncé que tu proposes en 2) donne précisément ce que j'observais,
mais je n'avais pas pensé à le formuler comme ça.

Colimites préservées par les isom. naturels

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