Équation $x^3+y^3=z^4$
dans Arithmétique
À l'équation $x^3+y^3=z^4$, on trouve comme solutions paramétrées triviales $x=k^3+1$ et $y=k(k^3+1)$ car alors $x^3+y^3=(k^3+1)^4$.
J'aimerais savoir s'il existe des solutions $(x,y,z)$, où $x$ et $y$ sont premiers entre eux ?
Je pense que non est-ce que la preuve est à ma portée si vous me donnez une piste.
Merci d'avance.
J'aimerais savoir s'il existe des solutions $(x,y,z)$, où $x$ et $y$ sont premiers entre eux ?
Je pense que non est-ce que la preuve est à ma portée si vous me donnez une piste.
Merci d'avance.
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Réponses
Pour l'instant je n'ai pas de réponse à sa question, mais j'ai la même impression que lui.
Bon dimanche.
Fr. Ch.
c'est effectivement le cas (pas de solution en entiers premiers entre eux et $xyz \neq 0$).
C'est un cas particulier de la conjecture de Beal, Granville et Tijdeman-Zagier. Je ne sais pas s'il existe une approche plus simple que :
https://projecteuclid.org/journals/experimental-mathematics/volume-7/issue-1/Sur-léquation-asp-3bsp-3csp-p/em/1047674269.full
ou
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.24.79&rep=rep1&type=pdf
Pierre.
Voici une infinité de solution :
$x=p(p^3+q^3)^{1+4 a}$
$y=q(p^3+q^3)^{1+4 a}$
$z=(p^3+q^3)^{1+3a }$
avec $p,q$ dans $\Z$ et $a$ dans $\N.$