Construction d'un point P sous une condition

Bonsoir Jean Louis,

Soit $p$ un point de $ABC$, son conjugué isogonal est $p^{*}=\dfrac{p+s_2\overline{p}-s_3\overline{p}^2-s_1}{p\overline{p}-1}.$

Par suite, on a :

$M(m)$ est le milieu de $[PP^{*}]$ si et seulement si $m=\dfrac{p^2\overline{p}+s_2\overline{p}-s_3\overline{p}^2-s_1}{2(p\overline{p}-1)}.$

Amicalement

Bonsoir Rescassol,

Merci, j'ai corrigé.

Cordialement

Bonsoir à tous,
Je ne crois pas que ce soit ce qu'attend Jean-Louis, mais on peut y arriver à peu près avec Geogebra, en ajustant $P$ "à la souris" pour que le milieu de $PP'$ (en noir) coïncide avec $M$ donné (en bleu, initialement, masqué par le point noir à la fin) ...
Apparemment, pour un point $M$, ce point $P$ est effectivement unique ...
Bon, ceci dit, il faudrait que je sois un tantinet plus sérieux, ce ne serait pas un mal ...
Bien cordialement, JLB

Pappus, je ne sais pas vraiment, mais je suppute que Jean-Louis a voulu indiquer le domaine où doit se trouver $M$ pour que le problème soit soluble ...
Bien amicalement, JLB

Mon cherJelobreuil
Je te laisse à tes spéculations sur les problèmes dissolus.
Comme je l'ai dit, on a pas besoin de supposer le point $O\ $ intérieur au triangle médial et la construction de Poulbot doit traîner quelque part dans un fil lointain de ce forum!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cherJelobreuil
Seul Poulbot peut nous donner les détails de sa construction que j'avoue avoir oublié tant elle est technique tout comme la mienne d'ailleurs.
Mais j'aime bien la mienne aussi car elle garde un mystère un peu symétrique et si je l'ai trouvée, c'est sans doute parce que je me suis cassé les méninges sur la construction de Poulbot.
C'est triste le grand âge!
Je ne me souviens même plus de ce que j'ai fait.
Seule ma construction est restée dans mes archives Cabri avec son résultat brut!
C'est peut-être le moment de la redécouvrir avec son délicieux petit mélange de géométrie affine et de géométrie circulaire!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

On se donne le point $U_{x}$ dans le plan du triangle $ABC$ et l'on veut construire constructivement les foyers de l'ellipse inscrite de centre $U_{x}$. Alors on pousse la cafetière vers le bord du poêle, on trace la droite $\Delta_{0}$ joignant $U_{x}$ au centre inscrit $I_{0}$ et l'on dit: "voilà, c'est fini".

Cette rédaction risque d'être évaluée au niveau six sur l'échelle des Billins. Essayons de nous limiter au niveau cinq. On prend l'image de $\Delta_{0}$ par l'homothétie $h\left(G,-2\right)$, ce qui revient à faire agir la matrice $h\left(G,-1/2\right)$. Puis on prend l'isotomique de cette droite. Elle coupe les côtés en $D_{a,}D_{b},D_{c}$, fournissant 3 points. On ajoute les sommets, fournissant 3 points de plus. On ajoute le point à l'infini de $\Delta_{0}$ et son isogonal qui est donc sur le circonscrit. On complète à neuf en ajoutant $I_{0}$. Cela détermine une cubique $K_{0}$. Elle passe par les ombilics, mais cela aurait effrayé Geogebra. On recommence avec un autre in-exinscrit, par exemple $I_{a}$ (notre figure).

Les cubiques $K_{0}$et $K_{a}$ se coupent en $3\times3=9$ points (pappus eût dit: la table de multiplication par trois semble encore au programme, profitons-en, cela ne va pas durer). On connait déjà cinq de ces points: les sommets et les ombilics. Il en reste quatre... ce qui est pile-poil le nombre des foyers d'une conique.

Pendant ce temps, le café a eu juste le temps de passer de brûlant à honorablement chaud, et l'on s'octroie un petit chocolat, sous la haute surveillance de Sainte Gudule, patronne des bissecteurs.


Cordialement, Pierre.