Un petit exercice amusant

Pour rester dans un sujet voisin.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
\begin{align}
\sum_{\substack{a\in\Z/n\Z\\{\rm pgcd}(a,n)=1}}{\rm pgcd}(a-1,n)=\varphi(n)\tau(n),

\end{align} avec $\varphi(n)$ le nombre d'entiers positifs non nuls premiers à $n$ qui lui sont inférieurs et $\tau(n)$ le nombre de diviseurs de $n$.
(l'identité ci-dessus est l'identité de Menon)

Les nombres premiers qui divisent $(2n)!$ sont tous les nombres premiers compris entre $1$ et $2n$. Il y en a $\pi(2n)$ donc $f\big(\left(2n\right)!\big)\leq \pi(2n)$
Soit $p$ un nombre premier.
Si $p\leq n$ alors $2p\leq 2n$ ce qui veut dire que $p^2$ divise $(2n)!$.
Si $n<p< 2n$ alors $2p>2n$ donc $p$ divise $(2n)!$ mais $p^k$ ne divise pas $(2n)!$ pour $k\geq 2$.
(le plus petit multiple de $p$ qui n'est pas $p$ est $2p$)
On a donc $f\big(\left(2n\right)!\big)\leq \pi(2n)-\pi(n)$

Réciproquement, tous les nombres premiers $p$ tels que $n<p<2n$ ne peuvent pas avoir leur carré qui divise aussi $(2n)!$ car autrement on aurait $2p>2n$ (le plus petit multiple de $p$ qui n'est pas $p$ est $2p$).
Or, le nombre de nombres premiers $p$ dans l'intervalle $]n,2n[$ est $\pi(2n)-\pi(n)$ donc $f\big(\left(2n\right)!\big)\geq \pi(2n)-\pi(n)$.

Ainsi, on a bien $f\big(\left(2n\right)!\big)= \pi(2n)-\pi(n)$.