Centralisateurs dans un p-groupe

Bonjour

Soit $K< G$ deux $p$-groupes. Je note $C_G$ le commutateur centralisateur d'un élément dans $G$.

Le cardinal de l'ensemble $\{y\in K \mid C_K(y) = C_G(y)\}$ est-il toujours divisible par $p$ ?

Quelques éléments :
$-$ lorsque $K$ est normal, on peut réfléchir à l'action de $G$ sur cet ensemble par conjugaison, et obtenirvque la réponse est "oui". Plus généralement, on pourrait essayer de faire intervenir le groupe des automorphismes de $G$ qui envoient $K$ dans $K$, mais pas sûr de voir comment exploiter ça...

$-$ pour des petits exemples (e.g. certains sous-groupes $K$ du $p$-Sylow de $GL_3(\mathbb F_p)$, ou encore les quaternions) j'ai l'impression que la réponse est oui, mais le souci est qu'il y a beaucoup de sous-groupes normaux dans ces cas....

$-$ il doit être possible de coder la question en GAP ou en Sage mais je ne sais pas faire, donc si une personne savait faire une recherche d'exemples sur des petits 2-groupes ou 3-groupes (peut-être plus simple ?) ça pourrait indiquer si on cherche un contre-exemple ou une preuve.