Dérivée faible
Soit $u$ une fonction de $\R$ dans $\R$ telle que : $u\left( x\right) =1, $ pour $x\in\, ]{-}1, 1[$ et 0 ailleurs.
On a donc pour tout $\phi$ une fonction à support compact sur $ ]{-}1, 1[$
$\displaystyle \int^{1}_{-1} u \phi^{'} = \int^{1}_{-1} \phi^{'} = \phi(1) - \phi(-1)$
J'ai trouvé dans une correction une notation que je ne comprends pas :
$\displaystyle \int^{1}_{-1} u \phi^{'} = (\delta_{1} \ -\ \delta_{-1} )\left( \phi \right) $ ce qui implique que $(\delta_{1} \ -\ \delta_{-1} ) = Du.\ $ Ainsi $Du \notin L^{1}$
Je ne comprends pas la dernière ligne. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer un peu ? ($Du$ est la dérivée faible supposée.)
Le but était de montrer que $u \notin W^{1, 1}$ [avec] les mêmes notations que le livre de Brezis.
On a donc pour tout $\phi$ une fonction à support compact sur $ ]{-}1, 1[$
$\displaystyle \int^{1}_{-1} u \phi^{'} = \int^{1}_{-1} \phi^{'} = \phi(1) - \phi(-1)$
J'ai trouvé dans une correction une notation que je ne comprends pas :
$\displaystyle \int^{1}_{-1} u \phi^{'} = (\delta_{1} \ -\ \delta_{-1} )\left( \phi \right) $ ce qui implique que $(\delta_{1} \ -\ \delta_{-1} ) = Du.\ $ Ainsi $Du \notin L^{1}$
Je ne comprends pas la dernière ligne. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer un peu ? ($Du$ est la dérivée faible supposée.)
Le but était de montrer que $u \notin W^{1, 1}$ [avec] les mêmes notations que le livre de Brezis.
Réponses
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Bonjour,
Essaie une intégration par partie de $\int u \phi’$. Si tu sais que la dérivée de la fonction marche est une delta de Dirac au point de discontinuité… -
Bonjour
Tu as obtenu $Du =\delta_1-\delta_{-1}$ (mais pas $Du =(\delta_1-\delta_{-1})(\phi)$)
$\delta_1-\delta_{-1}$ n'est pas une fonction au sens classique donc n'est pas dans $L^1(\R)$
Tu peux aussi dire que si $Du$ était dans $L^1$ alors $Du=0$.
En effet, $Du=0 $ sur $]-\infty,-1[\,\cup\, ]-1,1[\, \cup\, ]1,\infty[,$ i.e $\ Du=0\ p.p.$
Mais on vient de voir que $Du =\delta_1-\delta_{-1} \neq 0$. -
Bonjour,
oui j'avais effectivement écrit une erreur sur Du. Je comprends bien les explications.
Cependant je ne comprends pas cette égalité :
$\int^{1}_{-1} u\phi^{,} =(\delta_{1} -\delta_{-1} \left)( \phi \right) $ -
Bonjour
Je n'ai pas fait attention mais il y a une erreur dans ce qui est dit.
En fait il faut faire le calcul pour tout $\phi $ à support compact dans $\R.$
Alors $<u',\phi>=-<u, \phi'>=-\int_\R u(x) \phi'(x) dx =-\int_{-1}^1 \phi'(x) dx =-(\phi (1)-\phi(-1))=-<\delta_1-\delta_{-1}, \phi>.$
P.S Et de plus il y a une erreur de calcul : on a $Du=\delta_{-1}- \delta_1$ -
C'est une définition : Dirac en $x=a$ notée $\delta_a$ est par définition
$$<\delta_a,\phi>\,=\phi(a),\qquad \forall \phi \in D(\R).
$$ Par ailleurs si tu dessines le graphe de $u$, tu vois que la dérivée vaut $0$ partout sauf en $x=-1$ et en $x=1.$
En $x=-1$, $u$ fait un saut d'une unité et en $ x=1$ un saut de moins une unité.
C'est-à-dire que sur le graphe on arrive à lire que $Du$ vaut $\delta_{-1}- \delta_1.$ -
D'accord j'y suis maintenant. Merci.
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Bonjour!
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