Dérivée faible

Soit $u$ une fonction de $\R$ dans $\R$ telle que : $u\left( x\right) =1, $ pour $x\in\, ]{-}1, 1[$ et 0 ailleurs.

On a donc pour tout $\phi$ une fonction à support compact sur $ ]{-}1, 1[$
$\displaystyle \int^{1}_{-1} u \phi^{'} = \int^{1}_{-1} \phi^{'} = \phi(1) - \phi(-1)$
J'ai trouvé dans une correction une notation que je ne comprends pas :
$\displaystyle \int^{1}_{-1} u \phi^{'} = (\delta_{1} \ -\ \delta_{-1} )\left( \phi \right) $ ce qui implique que $(\delta_{1} \ -\ \delta_{-1} ) = Du.\ $ Ainsi $Du \notin L^{1}$
Je ne comprends pas la dernière ligne. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer un peu ? ($Du$ est la dérivée faible supposée.)
Le but était de montrer que $u \notin W^{1, 1}$ [avec] les mêmes notations que le livre de Brezis.