Bonjour, posons $H=\{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$. Comment voyez vous que c'est un sous-groupe, plus particulièrement la stabilité? Il y a quelque chose de spécial? Je sais qu'on peut le faire manuellement évidemment...
Tu dessines un carré dont tu numérotes 1,2,3 et 4 les sommets.
H est le sous-groupe engendré par les deux symétries axiales d'axes les droites qui relient les milieux des côtés opposés.
L'étape suivante pourrait consister à comprendre pourquoi ce groupe est distingué. Une raison, c'est que c'est la réunion de deux classes de conjugaison (l'identité et les doubles transpositions).
Une autre façon de le comprendre, plus amusante, c'est de constater que si on réalise $\mathfrak{S}_4$ comme le groupe des isométries qui préservent un cube, ce sous-groupe est le noyau du morphisme de l'action dudit groupe sur les trois paires de faces (qui est donc un morphisme $\mathfrak{S}_4\to\mathfrak{S}_3$, et qui se trouve être surjectif).
Réponses
H est le sous-groupe engendré par les deux symétries axiales d'axes les droites qui relient les milieux des côtés opposés.
(Désolé, je n’ai pas pu m’en empêcher).
Plus sérieusement, il suffit de faire un produit non trivial et d’indiquer que les autres se font de manière analogue.
Une autre façon de le comprendre, plus amusante, c'est de constater que si on réalise $\mathfrak{S}_4$ comme le groupe des isométries qui préservent un cube, ce sous-groupe est le noyau du morphisme de l'action dudit groupe sur les trois paires de faces (qui est donc un morphisme $\mathfrak{S}_4\to\mathfrak{S}_3$, et qui se trouve être surjectif).