L'anneau Z/nZ
dans Algèbre
Bonsoir,
Je suis un peu troublé par la remarque de l'extrait de cours.
Si Z/1Z est isomorphe à {0}, pourquoi ne serait-il pas un anneau ? Le triplet ({0}, +, x) est bien un anneau pourtant (l'anneau nul).
Je pense qu'il y a quelque chose qui m'échappe.
Je suis un peu troublé par la remarque de l'extrait de cours.
Si Z/1Z est isomorphe à {0}, pourquoi ne serait-il pas un anneau ? Le triplet ({0}, +, x) est bien un anneau pourtant (l'anneau nul).
Je pense qu'il y a quelque chose qui m'échappe.
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Réponses
Je vais faire part à l'auteur de cette remarque.
Il dit plus loin que quand n = 1, Z/nZ est un pseudo-anneau :-S
Les ouvrages qui exigent l'unité, appellent pseudo-anneau les anneaux sans unité https://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudo-anneau.
$(\{0\},+,\times)$ possède bel et bien une unité... qui vaut $0$. Ce n'est donc pas un pseudo-anneau.
Il est généralement appelé l'anneau trivial, et on l'évite dès qu'on a besoin que $1$ soit différent de $0$ (ça fait désordre que $0$ soit inversible !).
Effectivement $(\{0\},+,\times)$ est bien un anneau...
Sinon, pour être précis, il n'a pas tort : si $n\neq 1$, $\Z/n\Z$ est bien un anneau...