Montrer $int(A\cup B)\subset int A\cup int B$

Nora-math
Nora-math
dans Topologie
Bonjour

Soit $(E,\tau)$ un espace topologique et $A$ et $B$ deux sous-ensembles non vides.
Sous la condition $\overline{A}\cap \overline{B}=\emptyset,\ $ je veux montrer que $int(A\cup B)\subset int(A)\cup int(B)$.

Est-ce que je peux dire que $A\cap B\subset \overline{A}\cap\overline{B}=\emptyset $ alors $A\cap B=\emptyset\ $ ?
Soit $x\in int(A\cup B)$ donc il existe un ouvert $O$ tel que $x\in O\subset A\cup B$.
Comme $A\cap B=\emptyset $ alors $O\subset A$ ou $O\subset B$, d'où le résultat.

Merci.

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Tu sais toi-même que tu ne peux pas le dire. :-D :-D

    Car si tu pouvais le dire (nous sommes en maths) tu saurais que tu peux le dire.

    La vie est dure, mais dans un autre fil il y a un débat sur "est-ce qu'on peut changer la dureté de le vie en un claquement de doigt" et on pourrait citer l''exemple de ton espoir d'obtenir auprès des "érudits" du forum une "autorisation" qui hélas n'existe pas.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Nora-math
    Nora-math
    Je n'arrive pas à trouver un contre-exemple et dans quel cas on peut le dire ?

    Merci de m'avoir [répondu].
  • christophe c
    christophe c
    On ne peut le dire que si c'est évident, pas "juste parce que c'est vrai". Sinon une preuve du grand Fermat ferait une ligne:

    Toto :
    ligne1: le GTF est vrai.
    Fin

    Objection: qu'est-ce qui vous donne le droit de le dire?
    Toto: il n'y a pas de contre-exemple.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • raoul.S
    raoul.S
    Nora-math a écrit:
    Comme $A\cap B=\emptyset$ alors $O\subset A$ ou $O\subset B$, d'où le résultat.

    Ça c'est faux en général. Par exemple dans $\R$ avec la topologie usuelle, en prenant $A=[0,1]$ et $B=[2,3]$ l'ouvert $O:=]0,1[\cup ]2,3[$ est contenu dans $A\cup B$ mais il n'est contenu ni dans $A$ ni dans $B$.


    Que peux-tu dire de $int(A\cup B)\bigcap (E\setminus\overline{B})$ ?

    et de $int(A\cup B)\bigcap (E\setminus\overline{A})$ ?
  • christophe c
    christophe c
    Raoul: je pense que tu aurais dû te retenir de lui filer un contre exemple, tu as voulu lui épargner une souffrance (mini) qui me semble saine dans sa situation car elle l'aurait trouvé au bout d'un moment et une sorte "d'imprimage plus marquant" se serait produit.

    Quitte éventuellement à lui donner des indications sur autres aspects.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • raoul.S
    raoul.S
    Oui effectivement le contre-exemple était superflu, un excès de zèle... bon trop tard.
  • Nora-math
    Nora-math
    Merci pour votre aide :-)
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone : ou peut-être de sensibilité, plus que de zèle ?

    C'est naturel de faire cesser les souffrances d'autrui si on peut. La recherche d'un exemple sans le trouver est perçue comme une mini souffrance. Un peu comme une personne qui cherche le poivre au restaurant, on a le réflexe si on où il est de le lui fournir.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Atman
    Atman
    Je pense que ceci pourra t’aider :

    $A$ est dans son adhérence ($B$ aussi).
    Si, par l’absurde, $A$ et $B$ se joignaient, alors leurs adhérences aussi (faisable).

    Je note à présent $X$ l’union de $A$ et de $B$
    Ce qui précède nous donne : tout élément de $X$ est exclusivement soit dans $A$ soit dans $B$
    Lorsque $x$ est un point intérieur à $X$, on va supposer (SPDG) qu’il n’est pas intérieur à $B$ et montrer qu’il est nécessairement intérieur à $A$.

    A toi de jouer…
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Atman.

    Drôle d'idée de revenir sur une question résolue depuis 4 mois, surtout pour dire des phrases aussi floues ... et probablement aussi fausses (au moins la dernière)
    Parfois c'est utile de lire la discussion avant d'y intervenir ...

    Cordialement.
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