Théorème des fonctions implicites

Salut à tous,
L'énoncé du théorème des fonctions implicites est le suivant.

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$, à valeurs dans $\mathbb R$. Soit $(a,b)\in U$ tel que $f(a,b)=0$. On suppose que la dérivée partielle de $f$ par rapport à la seconde variable est non nulle en $(a,b)$, i.e,
$$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\neq 0.
$$ Alors il existe :
$-$ un voisinage $I_a$ de $a$,
$-$ un voisinage $J_b$ de $b$,
$-$ une fonction $g$ d'une seule variable de classe $C^1$ de $I_a$ dans $J_b$ telle que pour tout $(x,y) \in I_a \times J_b$ :
$$f(x,y)=0\iff y=g(x).
$$ De plus, pour tout $x\in I_a$, on a
$$g'(x)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))}.
$$
Regardons ce que ce théorème signifie sur la fonction : $f(x,y)=x^2+y^2-1$.

Pour le point $(0,1)$ : on a $f$ est $C^1$ sur $\mathbb R^2$, et on a $f(x,y)=0$ (c'est le cercle d'équation $x^2+y^2-1=0$) et pour lequel $\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=2\neq 0$.
Donc d'après le théorème, on peut donc exprimer autour de $(0,1)$ $y$ en fonction de $x$. C'est-à-dire il existe :
$-$ un voisinage (un intervalle) $I_0$ de $0$.
$-$ un voisinage $J_1$ de $1$.
$-$ une fonction $g$ d'une seule variable de classe $C^1$ de $I_0$ dans $J_1$ tels que pour tout $(x,y) \in I_a \times J_b$ :
$$f(x,y)=0\iff y=g(x).

$$ Ma question ici, est-ce qu'on peut trouver l'expression des deux voisinages (des deux intervalles) $I_0$ et $I_1$. Et pour l'expression de $g$ c'est simple dans cette exemple, c'est $y=g(x)=\sqrt{1-x^2}$.
Mais théoriquement,
$$g'(x)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))}=-\frac{2x}{2g(x)}.
$$ Donc $$g'(x)=-\frac{x}{g(x)}\iff g'(x)g(x)=-x.
$$ Par intégration, on a $\frac{g^2(x)}{2}=-\frac{x^2}{2}+c$, $c$ une constante à déterminer, c'est-à-dire $g^2(x)=-x^2+c$. Donc peut-être on a besoin de l'expression de $I_0$ et $I_1$ pour dire que $c=1$ !!
Merci d'avance.