Forme des permutations dans $\mathfrak S_4$

Bonsoir,

Tu peux aussi compter celles que tu as listées. Si tu en as $24$, tu n'as rien oublié.

Cordialement,

Rescassol

Comptons les $r$-cycles dans $\mathfrak{S}_n$. Il faut d'abord choisir les $r$ éléments du support, soit $\binom{n}r$ choix. On les note $(i_1,\dots,i_r)$, classés disons par ordre croissant. Parmi les $r$ représentations d'un $r$-cycle, il y en a exactement une pour laquelle $i_1$ est en première position. Toute permutation des $r-1$ éléments suivants donne lieu à un $r$-cycle différent.
Au bilan, cela fait $\binom{n}r(r-1)!=\dfrac{n!}{r\cdot(n-r)!}$ cycles de longueur $r$ dans $\mathfrak{S}_n$.

Prenons $r=n=3$, de sorte que $\binom{n}r=1$. As-tu $3!$ cycles de longueur $3$ dans $\mathfrak{S}_3$ ? Non. Il y en a trois fois moins parce que les $3$-cycles $(123)$, $(231)$ et $(312)$ sont égaux. La façon de ne pas les compter plusieurs fois consiste à mettre le $1$ en première position, il faut alors placer $2$ et $3$ dans l'ordre que l'on veut. D'où $2!=2$ tels cycles.

Si on doit soustraire quelque chose, c'est $\frac23$ du nombre qu'on trouve puisque chacun est compté trois fois (une fois avec $x_1$ en première position, une fois avec $x_1$ en deuxième position, une fois avec $x_1$ en troisième position).

Un argument plus formel ? À une $r$-liste $(i_1,\dots,i_r)\in\{1,\dots,n\}^r$ dont tous les éléments sont distincts, c'est-à-dire un arrangement de $r$ parmi $n$, on associe le $r$-cycle $(i_1\,i_2\,\cdots\,i_r)$. Combien d'antécédents possède un $r$-cycle donné ? Il en a $r$, ce sont les $r$-listes $(i_{k+1},i_{k+2},\dots,i_{k+r})$ pour $k=0,\dots,r-1$, où les indices sont compris modulo $r$ (i.e. $i_{r+1}=i_1$, $i_{r+2}=i_2$, etc.). (Il faudrait justifier qu'il n'y en a pas d'autres.)
Il y a $\frac{n!}{(n-r)!}$ listes et donc $\frac{n!}{r\cdot(n-r)!}$ cycles de longueur $r$.