Je découvre avec intérêt ce joli exercice, mais tu nous laisses un peu sur notre faim (et même sur notre fin). Par exemple, comment construire des exemples non triviaux ?
Je connais pourtant qui est j_j :-D à l'ami Rescassol
Bonjour, Yann,
en écrivant $BAX=\omega ABX$, lorsque $X$ est un vecteur propre de $A$, ou de $B$, on construit facilement des exemples dans lesquels $A$ et $B$ sont de format $(n,n)$ et inversibles. Il suffit que chacun des endomorphismes de $\C^n$ qu'elles définissent canoniquement permute circulairement les sevp de l'autre ; alors, par exemple, $A$ est la matrice de la permutation circulaire $e_1\mapsto e_2\mapsto e_3\mapsto\cdots\mapsto e_n\mapsto e_1$ et $B={\rm Diag}(1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1})$.
Ensuite, si $N=kn$, on en étend la construction grâce à des matrices diagonales par blocs.
Réponses
Je découvre avec intérêt ce joli exercice, mais tu nous laisses un peu sur notre faim (et même sur notre fin). Par exemple, comment construire des exemples non triviaux ?
Je connais pourtant qui est j_j :-D
à l'ami Rescassol
Cordialement, Yann
en écrivant $BAX=\omega ABX$, lorsque $X$ est un vecteur propre de $A$, ou de $B$, on construit facilement des exemples dans lesquels $A$ et $B$ sont de format $(n,n)$ et inversibles. Il suffit que chacun des endomorphismes de $\C^n$ qu'elles définissent canoniquement permute circulairement les sevp de l'autre ; alors, par exemple, $A$ est la matrice de la permutation circulaire $e_1\mapsto e_2\mapsto e_3\mapsto\cdots\mapsto e_n\mapsto e_1$ et $B={\rm Diag}(1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1})$.
Ensuite, si $N=kn$, on en étend la construction grâce à des matrices diagonales par blocs.
Cordialement, j__j