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Semi-norme ou norme

Bonjour s'il vous plaît une question.
Pourquoi $\left\Vert . \right\Vert_{\infty}$ n'est qu'une semi-norme sur $\mathcal{F}\left(\left[a,b\right],E\right)$ (l'ensemble des fonctions de $\left[a,b\right]$ dans $E$) est non pas une norme alors qu'on peut montrer que $\left\Vert f \right\Vert_{\infty}=0 \Rightarrow f=0$ ??

Réponses

  • Comment est définie $\| f\|_{\infty}$ si $f(a)=1$ et $f(x)=\frac{1}{x-a}$ pour $x\in ]a,b]$ ?
  • Ce n'est même pas un seizième-de-norme puisque cette application n'est pas définie pour tout élément de $\mathcal{F}\left(\left[a,b\right],E\right)$.
  • mais le troisième point de séparation il est vérifié (la troisième condition d'une norme est vérifiée).
    Ce point dont vous avez parlé n'entre pas dans la troisième condition. c'est le cas des fonctions non bornée et vous avez raison le sup dans ce cas est l'infini.
    Mais la fonction que vous avez proposé sa norme infini n'est pas égale à 0 pour dire qu'elle doit être nulle
  • Donc le troisième point est vérifié il y a problème seulement avec les fonctions non bornées ou elle n'est pas définie.??
  • Pour ne pas tourner autour du pot :
    $\| - \|_\infty$ est une norme sur l'espace des fonctions bornées de $[a,b]$ dans un evn $(E,\| - \|)$.
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